Questão 2

Seja g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função dada por g(x, y)=(x-3)^{2}+5.
(a) Determine todos os pontos críticos de g.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g em cada ponto crítico de g.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y) = (x-3)^{2} + 5
definida em \mathbb{R}^{2} e pede duas coisas:
(a) determinar todos os pontos críticos de g, e
(b) determinar a equação do plano tangente ao gráfico de g em cada ponto crítico encontrado.
As informações relevantes são: a expressão explícita de g (observe que depende apenas de x) e que o domínio é todo \mathbb{R}^{2}. Nada mais é dado.

Passo 2

O que é um ponto crítico? Um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico de g se as derivadas parciais de g existem nesse ponto e simultaneamente
\frac{\partial g}{\partial x}(x_{0},y_{0})=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial g}{\partial y}(x_{0},y_{0})=0,
ou então alguma das derivadas parciais não existe (não é o caso aqui porque g é polinomial). As derivadas parciais medem a taxa de variação de g quando variamos uma variável mantendo a outra fixa. Vamos calcular as derivadas parciais de g explicitamente.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial g}{\partial x}. Como g(x,y)=(x-3)^{2}+5, tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Usamos a regra da cadeia: a derivada de (x-3)^{2} em relação a x é 2(x-3)\cdot 1. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2(x-3).
Agora \frac{\partial g}{\partial y}: como g não depende de y (não há y na expressão), a variação de g em relação a y é zero:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0.

Passo 4

Para encontrar pontos críticos resolvemos o sistema
\begin{cases} \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=0,\\[4pt] \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as expressões encontradas:
\begin{cases} 2(x-3)=0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x-3=0 logo x=3. A segunda equação é verdadeira para todo y, portanto não impõe restrição em y. Concluímos que todos os pontos com coordenada x igual a 3 são críticos. Em notação:
\{(3,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\in\mathbb{R}\}.
Isto é, há uma reta vertical (paralela ao eixo y) de pontos críticos.]

Passo 5

Interpretação rápida: como g depende somente de x, seu valor não muda ao mover-se na direção do eixo y. Em x=3 a função atinge o valor mínimo em relação a x, pois a segunda derivada em x é \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}(x,y)=2>0, então cada ponto (3,y) é um mínimo (global) restrito à variação em x e, devido à independência em y, são mínimos ao longo da reta inteira.

Passo 6

Agora vamos achar a equação do plano tangente ao gráfico de g. Para uma função g(x,y) de duas variáveis, a aproximação linear (plano tangente) em torno de (x_{0},y_{0}) é dada por
z \approx g(x_{0},y_{0}) + \frac{\partial g}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + \frac{\partial g}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Essa é a fórmula padrão do plano tangente; as derivadas parciais fornecem as inclinações do plano nas direções x e y. Agora avaliamos em um ponto crítico (x_{0},y_{0})=(3,y_{0}). Já sabemos que
\frac{\partial g}{\partial x}(3,y_{0})=2(3-3)=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial g}{\partial y}(3,y_{0})=0.
Além disso
g(3,y_{0})=(3-3)^{2}+5=5.
Substituindo na fórmula do plano tangente obtemos
z = 5 + 0\cdot (x-3) + 0\cdot (y-y_{0}),
ou seja
z = 5.

Passo 7

Interpretação final do plano: para qualquer ponto crítico (3,y_{0}) o plano tangente é o plano horizontal de equação z=5. Esse plano é o mesmo para todos os pontos da reta de pontos críticos, porque a superfície é constante igual a 5 ao longo dessa reta no ponto de contato.

Resposta

(a) \{(3,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\in\mathbb{R}\}
(b) Para cada ponto crítico (3,y_{0}) o plano tangente é \;z=5

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