Sejam
e
subconjuntos quaisquer de
. Mostre que:
(a)
.
(b)
(c) Exiba um exemplo em que não ocorre a igualdade no item (b).
(a)
(b)
(c) Exiba um exemplo em que não ocorre a igualdade no item (b).
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Mostrar que
. - (b) Mostrar que
. - (c) Dar um exemplo onde a inclusão do item (b) é estrita (ou seja, não há igualdade).
Informações dadas:
e
são quaisquer subconjuntos de
. Não há mais hipóteses (por exemplo, não é dito que são abertos ou fechados), então as provas têm que valer para qualquer conjunto em
.
Passo 2
Vamos lembrar (com calma) o que significa interior de um conjunto, porque isso é a chave para resolver tudo.
Definição (intuitiva e prática): um ponto
pertence a
(o interior de
) se e somente se existe um intervalo aberto centrado em
totalmente contido em
. Em fórmulas:
se existe
tal que
Explicação didática: pensar no interior é pensar nos pontos que não ficam “encostados” na borda; existe uma folguinha (um pequeno intervalo) ao redor do ponto que ainda fica inteiro dentro do conjunto.
Passo 3
Prova da inclusão
.
Tomemos
. Pela definição do interior, existe
tal que
Se esse intervalo está contido em
, então ele também está contido em
e também em
. Logo, pela definição,
e
. Portanto
. Como
foi arbitrário, concluímos
Passo 4
Prova da inclusão inversa
.
Tomemos
. Isso significa que existem
e
tais que
Para garantir um único intervalo em comum, tomamos
. Então
Logo existe um intervalo aberto centrado em
contido em
, de modo que
. Como
foi arbitrário, segue
Passo 5
Concluímos juntando as duas inclusões dos passos anteriores:
Comentário encorajador: isso diz que o interior “distribui” sobre interseção — bonito e útil.
Passo 6
Prova de
.
Tomemos
. Então
ou
. Se
, existe
tal que
. Mas
, logo esse mesmo intervalo está contido em
, o que implica
. Análogo se
. Portanto qualquer ponto da união
é ponto interior de
, e obtemos
Pequena observação didática: a ideia é trivial — um intervalo inteiro contido em
(ou em
) fica também inteiro em
.
Passo 7
Exemplo que mostra que a inclusão do item (b) pode ser estrita.
Escolhemos
Aqui estou pegando os conjuntos exatamente dessa forma (essa informação foi escolhida por mim como exemplo). Vamos calcular os interiores:
- Pela definição de interior,
e . - Então
.
Agora o conjunto união é
(porque os dois intervalos fechados se juntam no ponto
). O interior de
é
Compare:
O ponto
pertence a
(o interior de
), mas
não pertence a
. Portanto a inclusão do item (b) é estrita neste exemplo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Exemplo: ,
. Então
e
, logo a inclusão é estrita.
(b)
(c) Exemplo: