Sejam A e B subconjuntos quaisquer de \mathbb{R}. Mostre que:
(a) \operatorname{int}(A \cap B)=\operatorname{int} A \cap \operatorname{int} B.
(b) \operatorname{int} A \cup \operatorname{int} B \subseteq \operatorname{int}(A \cup B)
(c) Exiba um exemplo em que não ocorre a igualdade no item (b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (a) Mostrar que \operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B.
  • (b) Mostrar que \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).
  • (c) Dar um exemplo onde a inclusão do item (b) é estrita (ou seja, não há igualdade).
Informações dadas: A e B são quaisquer subconjuntos de \mathbb{R}. Não há mais hipóteses (por exemplo, não é dito que são abertos ou fechados), então as provas têm que valer para qualquer conjunto em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) o que significa interior de um conjunto, porque isso é a chave para resolver tudo.
Definição (intuitiva e prática): um ponto x\in\mathbb{R} pertence a \operatorname{int} C (o interior de C) se e somente se existe um intervalo aberto centrado em x totalmente contido em C. Em fórmulas: x\in\operatorname{int} C se existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq C.
Explicação didática: pensar no interior é pensar nos pontos que não ficam “encostados” na borda; existe uma folguinha (um pequeno intervalo) ao redor do ponto que ainda fica inteiro dentro do conjunto.

Passo 3

Prova da inclusão \operatorname{int}(A\cap B)\subseteq\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B.
Tomemos x\in\operatorname{int}(A\cap B). Pela definição do interior, existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq A\cap B.
Se esse intervalo está contido em A\cap B, então ele também está contido em A e também em B. Logo, pela definição, x\in\operatorname{int} A e x\in\operatorname{int} B. Portanto x\in\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B. Como x foi arbitrário, concluímos
\operatorname{int}(A\cap B)\subseteq\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B.

Passo 4

Prova da inclusão inversa \operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cap B).
Tomemos x\in\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B. Isso significa que existem \varepsilon_1>0 e \varepsilon_2>0 tais que
(x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1)\subseteq A \qquad\text{e}\qquad (x-\varepsilon_2,x+\varepsilon_2)\subseteq B.
Para garantir um único intervalo em comum, tomamos \varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}>0. Então
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq (x-\varepsilon_1,x+\varepsilon_1)\cap (x-\varepsilon_2,x+\varepsilon_2)\subseteq A\cap B.
Logo existe um intervalo aberto centrado em x contido em A\cap B, de modo que x\in\operatorname{int}(A\cap B). Como x foi arbitrário, segue
\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cap B).

Passo 5

Concluímos juntando as duas inclusões dos passos anteriores:
\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B.
Comentário encorajador: isso diz que o interior “distribui” sobre interseção — bonito e útil.

Passo 6

Prova de \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).
Tomemos x\in\operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B. Então x\in\operatorname{int} A ou x\in\operatorname{int} B. Se x\in\operatorname{int} A, existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq A. Mas A\subseteq A\cup B, logo esse mesmo intervalo está contido em A\cup B, o que implica x\in\operatorname{int}(A\cup B). Análogo se x\in\operatorname{int} B. Portanto qualquer ponto da união \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B é ponto interior de A\cup B, e obtemos
\operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).
Pequena observação didática: a ideia é trivial — um intervalo inteiro contido em A (ou em B) fica também inteiro em A\cup B.

Passo 7

Exemplo que mostra que a inclusão do item (b) pode ser estrita.
Escolhemos
A=[0,1]\qquad\text{e}\qquad B=[1,2].
Aqui estou pegando os conjuntos exatamente dessa forma (essa informação foi escolhida por mim como exemplo). Vamos calcular os interiores:
  • Pela definição de interior, \operatorname{int} A=(0,1) e \operatorname{int} B=(1,2).
  • Então \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B=(0,1)\cup(1,2).
Agora o conjunto união é A\cup B=[0,2] (porque os dois intervalos fechados se juntam no ponto 1). O interior de A\cup B é
\operatorname{int}(A\cup B)=(0,2).
Compare:
(0,1)\cup(1,2)\subsetneq(0,2).
O ponto 1 pertence a (0,2) (o interior de A\cup B), mas 1 não pertence a (0,1)\cup(1,2). Portanto a inclusão do item (b) é estrita neste exemplo.

Resposta

(a) \operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int} A\cap\operatorname{int} B
(b) \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B)
(c) Exemplo: A=[0,1], B=[1,2]. Então \operatorname{int} A\cup\operatorname{int} B=(0,1)\cup(1,2) e \operatorname{int}(A\cup B)=(0,2), logo a inclusão é estrita.

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