5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
y^2=4 lambda x

Passo 1

O enunciado nos dá a família de parábolas
y^2=4lambda x
com parâmetro lambda, e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada parábola com ângulo reto. Para isso usaremos derivação implícita, eliminaremos lambda para obter a equação diferencial da família original, trocaremos a inclinação pela sua negativa recíproca e resolveremos a nova ODE.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x:
2y,dydx=4lambda
Como da equação original temos lambda=y^24x, substituímos em cima para eliminar lambda:
2y,dydx=4cdoty^24x Longrightarrow y,dydx=y^22x Longrightarrow dydx=y2x

Passo 3

Para trajetórias ortogonais, a inclinação deve ser o negativo recíproco, isto é,
dydx|perp=-1(y/(2x))=-2xy
Obtivemos então a ODE
dydx=-2xy,
que é separável.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
y,dy=-2x,dx Longrightarrow integral y,dy=integral -2x,dx Longrightarrow y^22=-x^2+C
Multiplicando por 2 e reagrupando, temos
y^2+2x^2=C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais é
y^2+2x^2=C',
isto é, elipses de constantes C'>0.

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