5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
Passo 1
O enunciado nos dá a família de parábolas
com parâmetro , e pede as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada parábola com ângulo reto. Para isso usaremos derivação implícita, eliminaremos para obter a equação diferencial da família original, trocaremos a inclinação pela sua negativa recíproca e resolveremos a nova ODE.
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a :
Como da equação original temos , substituímos em cima para eliminar :
Passo 3
Para trajetórias ortogonais, a inclinação deve ser o negativo recíproco, isto é,
Obtivemos então a ODE
dydx=-2xy,
que é separável.
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
y,dy=-2x,dx Longrightarrow integral y,dy=integral -2x,dx Longrightarrow y^22=-x^2+C