Questão 1. Seja V um espaço vetorial e u, v in V, vetores não nulos.
(a) (0,2) Prove que se u, v é linearmente dependente então um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
(b) (0,3) Suponha que V=R^2, u=(x1, x2), v=(y1, y2) in V tais que x1 y1+x2 y2=0 e x1^2+x2^2=y1^2+y2^2=1. Prove que beta=u, v é uma base de V.

Passo 1

O enunciado divide-se em duas partes. Na parte (a) estamos em um espaço vetorial V qualquer e temos dois vetores não nulos u,vin V; devemos provar que, se u,v é linearmente dependente, então um desses vetores é múltiplo escalar do outro. Na parte (b) V=R^2 e os vetores
u=(x1,x2), v=(y1,y2)
satisfazem
x1y1 + x2y2 = 0, x1^2 + x2^2 = y1^2 + y2^2 = 1
Devemos provar que beta=u,v é uma base de R^2. Os conteúdos envolvidos são definição de dependência linear, múltiplos escalares, produto interno, independência linear e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Prova de (a). Por definição, u,v é linearmente dependente se existem escalares alpha,betainK, não ambos zero, tais que
alpha,u + beta,v = 0
Como alpha e beta não são simultaneamente zero, ou alphaneq0 ou betaneq0. Se alphaneq0, basta escrever
u = -betaalpha,v,
ou seja, u é múltiplo escalar de v. Se em vez disso betaneq0, segue
v = -alphabeta,u,
ou seja, v é múltiplo escalar de u. Isso prova a afirmação.

Passo 3

Prova de (b), independência linear. Suponha que existam escalares c,d tais que
c,u + d,v = 0
Tomando produto interno com u, e lembrando que lang<= u,urang<= = x1^2+x2^2=1 e lang<= v,urang<==x1y1+x2y2=0, obtemos
c,lang<= u,urang<= + d,lang<= v,urang<= = ccdot1 + dcdot0 = 0 Longrightarrow c=0
Analogamente, tomando produto interno com v e usando lang<= v,vrang<==1, conclui-se d=0. Logo u,v é linearmente independente.

Passo 4

Como R^2 tem dimensão 2, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes é base de R^2. Assim, beta=u,v é base.

Resposta

(a) Se u,v é linearmente dependente, então existe escalar não nulo que expressa um vetor como múltiplo escalar do outro.
(b) Os vetores dados são ortonormais em R^2, logo são linearmente independentes e, por terem dois elementos num espaço de dimensão 2, formam uma base.

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