Questão 1. Seja
um espaço vetorial e
, vetores não nulos.
(a)
Prove que se
é linearmente dependente então um dos vetores é múltiplo escalar do outro.
(b)
Suponha que
tais que
e
. Prove que
é uma base de
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado divide-se em duas partes. Na parte (a) estamos em um espaço vetorial
qualquer e temos dois vetores não nulos
; devemos provar que, se
é linearmente dependente, então um desses vetores é múltiplo escalar do outro. Na parte (b)
e os vetores
satisfazem
Devemos provar que
é uma base de
. Os conteúdos envolvidos são definição de dependência linear, múltiplos escalares, produto interno, independência linear e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Prova de (a). Por definição,
é linearmente dependente se existem escalares
, não ambos zero, tais que
Como
e
não são simultaneamente zero, ou
ou
. Se
, basta escrever
ou seja,
é múltiplo escalar de
. Se em vez disso
, segue
ou seja,
é múltiplo escalar de
. Isso prova a afirmação.
Passo 3
Prova de (b), independência linear. Suponha que existam escalares
tais que
Tomando produto interno com
, e lembrando que
e
, obtemos
Analogamente, tomando produto interno com
e usando
, conclui-se
. Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Como
tem dimensão
, qualquer conjunto de dois vetores linearmente independentes é base de
. Assim,
é base.
Resposta
(a) Se
é linearmente dependente, então existe escalar não nulo que expressa um vetor como múltiplo escalar do outro.
(b) Os vetores dados são ortonormais em , logo são linearmente independentes e, por terem dois elementos num espaço de dimensão
, formam uma base.
(b) Os vetores dados são ortonormais em