1. A reta normal a uma curva C em um ponto P é, por definição, a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente a C em P. Obtenha a equação da reta normal à curva f(x)=2^tg(sen x^3) no ponto de ordenada 1.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva
f(x)=2^tanl(sin(x^3)r)
no ponto cuja ordenada é 1. A reta normal em P é a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente. Para achar essa reta, precisamos:
1. Determinar o(s) valor(es) de x tal que f(x)=1.
2. Calcular f'(x) e avaliá-lo nesse ponto para obter a inclinação da tangente.
3. Usar a relação entre as inclinações da tangente e da normal.

Passo 2

Resolvendo
2^tanl(sin(x^3)r)=1
temos tanl(sin(x^3)r)=0, logo
sin(x^3)=kpi, kinZ
Como sin(y)=0 para y=kpi sem restrição em k, existem infinitas soluções x=(kpi)^1/3.
Mas o enunciado fala em “o ponto de ordenada 1” no singular; adotamos a solução mais simples, k=0, que dá
x=0, P=(0,1)

Passo 3

Calculamos a derivada de f por regra da cadeia e exponencial: seja
u(x)=tanl(sin(x^3)r),
então
f(x)=2^u(x), f'(x)=2^u(x)ln2cdot u'(x)
Para u'(x) usamos ddxtan v=sec^2vcdot v' e ddxsin(x^3)=3x^2cos(x^3). Assim
u'(x)=sec^2l(sin(x^3)r)cdotl(3x^2cos(x^3)r),
logo
f'(x)=2^tan(sin(x^3)),ln2;sec^2l(sin(x^3)r);3x^2cos(x^3)

Passo 4

Avaliando em x=0, notamos que tan(sin(0))=0, sec^2(sin(0))=1 e cos(0)=1. Logo
f'(0)=2^0ln2cdot1cdot3cdot0^2=0
A tangente em P é horizontal (inclinação mrm t=0). A reta normal, sendo perpendicular, é vertical, isto é, tem equação x=constante.

Resposta

x =0

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