- A reta normal a uma curva
em um ponto
é, por definição, a reta que passa por
e é perpendicular à reta tangente a
em
. Obtenha a equação da reta normal à curva
no ponto de ordenada 1.
Passo 1
O enunciado pede a reta normal à curva
no ponto cuja ordenada é
. A reta normal em
é a reta que passa por
e é perpendicular à reta tangente. Para achar essa reta, precisamos:
. Determinar o(s) valor(es) de
tal que
.
. Calcular
e avaliá-lo nesse ponto para obter a inclinação da tangente.
. Usar a relação entre as inclinações da tangente e da normal.
Passo 2
Resolvendo
temos
, logo
Como
para
sem restrição em
, existem infinitas soluções
.
Mas o enunciado fala em “o ponto de ordenada ” no singular; adotamos a solução mais simples,
, que dá
Mas o enunciado fala em “o ponto de ordenada
Passo 3
Calculamos a derivada de
por regra da cadeia e exponencial: seja
então
Para
usamos
e
. Assim
logo
Passo 4
Avaliando em
, notamos que
,
e
. Logo
A tangente em
é horizontal (inclinação
). A reta normal, sendo perpendicular, é vertical, isto é, tem equação
.
Resposta
x