Questāo 1 Seja f(x)=x^{2 m+1} \sin \left(x^{2 m+5}\right)^{3} \cos \left(x^{2 m+1}\right)^{2}, m \in \mathbb{N}, x \in[-a,+a], a \in \mathbb{R}. Verifique se a funçāo f(\bullet) é par ou ímpar. justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2m+1}\,\sin\!\bigl((x^{2m+5})^{3}\bigr)\,\cos\!\bigl((x^{2m+1})^{2}\bigr),
com m\in\mathbb{N} e domínio x\in[-a,+a], a\in\mathbb{R}.
A pergunta é: verificar se a função f é par ou ímpar, justificando.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão explícita de f(x) (copiada acima).
  • O parâmetro m é um número natural (inteiro não negativo).
  • O domínio é simétrico em relação a zero ( [-a,a]), portanto a verificação de paridade faz sentido.

Passo 2

Lembrando as definições (muito importantes para a justificativa):
  • Uma função g é par se, para todo x no domínio, valer \,g(-x)=g(x)\,.
  • Uma função g é ímpar se, para todo x no domínio, valer \,g(-x)=-g(x)\,.
Também vou usar propriedades elementares que são padrões:
  • Para inteiros k, (-x)^k = (-1)^k x^k. Logo se k é par, (-x)^k = x^k; se k é ímpar, (-x)^k = -x^k.
  • A função seno é ímpar: \sin(-t) = -\sin(t) para todo t.
  • A função cosseno é par: \cos(-t) = \cos(t) para todo t.

Passo 3

Primeiro simplifico potências compostas para ver melhor os expoentes:
(x^{2m+5})^{3} = x^{3(2m+5)} = x^{6m+15}, \qquad (x^{2m+1})^{2} = x^{2(2m+1)} = x^{4m+2}.
Assim posso reescrever
f(x)=x^{2m+1}\,\sin\!\bigl(x^{6m+15}\bigr)\,\cos\!\bigl(x^{4m+2}\bigr).

Passo 4

Agora analiso a paridade dos expoentes (importante para manipular (-x)^{\text{expoente}}):
  • 2m+1 é ímpar, pois 2m é par e somando 1 obtém-se um número ímpar.
  • 6m+15 é ímpar, pois 6m é par e 15 é ímpar, par + ímpar = ímpar.
  • 4m+2 é par, pois 4m é par e 2 é par, par + par = par.
Portanto:
(-x)^{2m+1} = -\,x^{2m+1},\qquad (-x)^{6m+15} = -\,x^{6m+15},\qquad (-x)^{4m+2} = x^{4m+2}.

Passo 5

Calculo f(-x) passo a passo usando as propriedades acima e as propriedades do seno e cosseno:
\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^{2m+1}\,\sin\!\bigl(( -x)^{6m+15}\bigr)\,\cos\!\bigl(( -x)^{4m+2}\bigr)\\[4pt] &= \bigl(-x^{2m+1}\bigr)\,\sin\!\bigl(-x^{6m+15}\bigr)\,\cos\!\bigl(x^{4m+2}\bigr) \quad\text{(pela paridade dos expoentes)}\\[4pt] &= \bigl(-x^{2m+1}\bigr)\,\bigl(-\sin(x^{6m+15})\bigr)\,\cos(x^{4m+2}) \quad\text{(pois \(\sin\) é ímpar)}\\[4pt] &= \bigl((-1)\cdot x^{2m+1}\bigr)\cdot\bigl((-1)\cdot\sin(x^{6m+15})\bigr)\cdot\cos(x^{4m+2})\\[4pt] &= (+1)\,x^{2m+1}\,\sin(x^{6m+15})\,\cos(x^{4m+2}) \quad\text{(porque \((-1)\cdot(-1)=+1\))}\\[4pt] &= f(x). \end{aligned}éí]

Passo 6

Como obtivemos que f(-x)=f(x) para todo x no domínio [-a,a], concluímos que f é par. Também vale notar que a simetria do domínio foi satisfeita (domínio igual a [-a,a]), condição necessária para classificar paridade.

Resposta

A função f é par.

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