Questāo 1 Seja
,
. Verifique se a funçāo
é par ou ímpar. justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e domínio
,
.
A pergunta é: verificar se a função é par ou ímpar, justificando.
A pergunta é: verificar se a função
Informações relevantes que temos:
- A expressão explícita de
(copiada acima). - O parâmetro
é um número natural (inteiro não negativo). - O domínio é simétrico em relação a zero (
), portanto a verificação de paridade faz sentido.
Passo 2
Lembrando as definições (muito importantes para a justificativa):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer .
Também vou usar propriedades elementares que são padrões:
- Para inteiros
, . Logo se é par, ; se é ímpar, . - A função seno é ímpar:
para todo . - A função cosseno é par:
para todo .
Passo 3
Primeiro simplifico potências compostas para ver melhor os expoentes:
Assim posso reescrever
Passo 4
Agora analiso a paridade dos expoentes (importante para manipular
):
-
é ímpar, pois é par e somando obtém-se um número ímpar. -
é ímpar, pois é par e é ímpar, par + ímpar = ímpar. -
é par, pois é par e é par, par + par = par.
Portanto:
Passo 5
Calculo
passo a passo usando as propriedades acima e as propriedades do seno e cosseno:
Passo 6
Como obtivemos que
para todo
no domínio
, concluímos que
é par. Também vale notar que a simetria do domínio foi satisfeita (domínio igual a
), condição necessária para classificar paridade.
Resposta
A função
é par.