1{ }^{a} Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
f(x)=\left(2 x^{2}+5\right)(3 x-2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função e simplificar a resposta. A função dada é \,f(x)=\left(2x^{2}+5\right)(3x-2). As informações relevantes são: a função é produto de duas expressões polinomiais e devemos retornar f'(x) simplificado.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(f=uv)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui é importante entender cada termo: u'(x) é a derivada da primeira função u(x), v'(x) é a derivada da segunda v(x), e depois somamos os dois produtos. Essa regra vem do limite que define derivada, mas na prática é uma fórmula que usamos direto.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=2x^{2}+5,\qquad v(x)=3x-2.
Agora usamos a regra de potência e a regra da derivada de constante para calcular u'(x) e v'(x).
Regra de potência (lembrando): se \,g(x)=x^{n}\, então \,g'(x)=n x^{n-1}. Derivada de constante é zero, e derivada de ax é a.
Calculando:
u'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x^{2}+5\right)=2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{dx}(5)=2\cdot(2x)+0=4x.
v'(x) = \frac{d}{dx}\left(3x-2\right)=3.

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(4x)(3x-2)+(2x^{2}+5)(3).
Agora simplificamos passo a passo.
Primeiro multiplicamos os termos:
(4x)(3x-2)=12x^{2}-8x.
(2x^{2}+5)(3)=6x^{2}+15.
Somando os dois resultados:
f'(x)=\left(12x^{2}-8x\right)+\left(6x^{2}+15\right)= (12x^{2}+6x^{2}) -8x +15 =18x^{2}-8x+15.

Passo 5

Como verificação alternativa (útil na prova): podemos primeiro expandir f(x) e depois derivar. Expandindo:
f(x)=(2x^{2}+5)(3x-2)=6x^{3}-4x^{2}+15x-10.
Derivando termo a termo (regra da soma e potência):
f'(x)=\frac{d}{dx}(6x^{3})-\frac{d}{dx}(4x^{2})+\frac{d}{dx}(15x)-\frac{d}{dx}(10)=18x^{2}-8x+15.
O resultado bate com o obtido pela regra do produto, então está confirmado.

Resposta

f'(x)=18x^{2}-8x+15

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