1{ }^{a} Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
f(x)=10 x^{5}-\frac{1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: Calcular a derivada da função f e simplificar a resposta, onde
f(x)=10x^{5}-\frac{1}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada por f(x)=10x^{5}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Devemos encontrar f'(x), a derivada em função de x, e simplificá-la.
  • Observação sobre domínio: como aparece \sqrt{x} no denominador, a expressão original só faz sentido para x>0. Vou manter essa restrição em mente ao simplificar.

Passo 2

Primeiro passo útil: reescrever a função usando potências de x, porque a regra de derivação que usaremos funciona direto com potências. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}, então
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.
Portanto podemos escrever
f(x)=10x^{5}-x^{-1/2}.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar: regra da potência (power rule). Ela diz o seguinte:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é um número real qualquer. Explicando: ao derivar x^{n} você multiplica por n e diminui o expoente em uma unidade. Isso vale também para expoentes negativos e fracionários, o que é ótimo para o nosso caso com n=-\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo. Primeiro termo: 10x^{5}. A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função, então
\frac{d}{dx}\bigl(10x^{5}\bigr)=10\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr).
Usando a regra da potência com n=5:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=5x^{4}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(10x^{5}\bigr)=10\cdot 5x^{4}=50x^{4}.

Passo 5

Segundo termo: -x^{-1/2}. Novamente, a constante -1 sai na frente:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1/2}\bigr)=-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr).
Aplicando a regra da potência com n=-\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}.
Multiplicando pelo sinal negativo que estava na frente:
-\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr)=-\left(-\tfrac{1}{2}\right)x^{-3/2}=+\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos
f'(x)=50x^{4}+\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.
Podemos deixar a resposta em potências ou reescrever a parte fracionária em termos de radicais. Usando x^{-3/2}=\dfrac{1}{x^{3/2}}=\dfrac{1}{x\sqrt{x}}, temos a forma alternativa
f'(x)=50x^{4}+\frac{1}{2x^{3/2}}=50x^{4}+\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Lembrando a restrição do domínio: x>0.

Resposta

f'(x)=50x^{4}+\dfrac{1}{2}x^{-3/2}

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