Questāo. Calcule as derivadas das funções e simplifique as respostas.
Passo 1
O enunciado pede: Calcular a derivada da função
e simplificar a resposta, onde
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada por
. - Devemos encontrar
, a derivada em função de , e simplificá-la. - Observação sobre domínio: como aparece
no denominador, a expressão original só faz sentido para . Vou manter essa restrição em mente ao simplificar.
Passo 2
Primeiro passo útil: reescrever a função usando potências de
, porque a regra de derivação que usaremos funciona direto com potências. Lembrando que
, então
Portanto podemos escrever
Passo 3
Agora a regra que vamos usar: regra da potência (power rule). Ela diz o seguinte:
onde
é um número real qualquer. Explicando: ao derivar
você multiplica por
e diminui o expoente em uma unidade. Isso vale também para expoentes negativos e fracionários, o que é ótimo para o nosso caso com
.
Passo 4
Aplicamos a regra termo a termo. Primeiro termo:
. A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função, então
Usando a regra da potência com
:
Logo
Passo 5
Segundo termo:
. Novamente, a constante -1 sai na frente:
Aplicando a regra da potência com
:
Multiplicando pelo sinal negativo que estava na frente:
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas), obtemos
Podemos deixar a resposta em potências ou reescrever a parte fracionária em termos de radicais. Usando
, temos a forma alternativa
Lembrando a restrição do domínio:
.