Questão 2 Seja
:
Explique o significado do número
, do ponto de vista geométrico
Explique o significado do número
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para explicar, do ponto de vista geométrico, o significado do número
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função define uma superfície no espaço cuja coordenada vertical é
. - O ponto de interesse no plano
é . - O símbolo
indica a derivada parcial de em relação a (isto é, a taxa de variação de quando mudamos e mantemos fixo).
Neste passo eu só identifiquei o que o problema pede e os dados que temos; não calculei nada ainda.
Passo 2
O que é derivada parcial
e como calculá-la:
- Intuição: para obter
tratamos como constante e derivamos como se fosse uma função de uma única variável . Ou seja, fixamos um plano vertical paralelo ao eixo (por exemplo o plano ) e olhamos a curva que é a interseção da superfície com esse plano; é a inclinação dessa curva no ponto. - Regra prática: na expressão
, os termos que dependem de são constantes quando derivamos em relação a . Derivamos apenas o termo que contém .
Agora aplico isso ao nosso.
Passo 3
Cálculo de
:
- Derivando
em relação a dá . - Derivando
em relação a , como é tratado como constante, dá . - Derivando
em relação a obtemos .
Portanto
Passo 4
Avaliação em
:
Substituo em
:
Substituo
Passo 5
Interpretação geométrica detalhada e com exemplos numéricos:
- O número
é a taxa de variação instantânea de quando nos deslocamos na direção positiva de a partir do ponto onde e , mantendo fixo. Em palavras simples: se eu aumentar um pouco enquanto mantenho , diminui a um ritmo aproximado de unidades de para cada unidade de . - Exemplo numérico: se eu aumentar
em com , então muda aproximadamente . Ou seja, a altura da superfície cai cerca de . - Interpretação como reta tangente: considere a curva de interseção da superfície com o plano
. Essa curva é dada por . A inclinação (derivada de em relação a ) nessa curva no ponto é precisamente . Portanto, geometricamente, é a inclinação da reta tangente àquela curva de interseção no ponto . - Ponto concreto:
. Então o ponto na superfície é . A reta tangente à interseção com tem equação (paramétrica, tomando ):
Essa reta tem “inclinação”
na direção
-
.
- Ligação com plano tangente: na aproximação linear da superfície perto de
,
o coeficiente de
é
; isso mostra que, dentro do plano tangente, a variação de
com
(quando
está fixo) é também
.
Passo 6
Resumo motivador e dica para prova:
- Na prova, quando pedirem o significado geométrico de uma derivada parcial
, diga: "é a taxa de variação de quando aumento mantendo fixo, ou a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano no ponto ". - Calcule a derivada parcial tratando as outras variáveis como constantes e avalie no ponto. Dê um exemplo numérico rápido (como aumentar
em ) para mostrar a interpretação prática — isso costuma agradar os corretores.