Questão 2 Seja f(x, y)=9-3 x^{2}-y^{2} :
Explique o significado do número f y(2,1), do ponto de vista geométrico

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=9-3x^{2}-y^{2} e pede para explicar, do ponto de vista geométrico, o significado do número f_{y}(2,1).
Informações relevantes:
  • A função define uma superfície no espaço cuja coordenada vertical é z=f(x,y).
  • O ponto de interesse no plano xy é (2,1).
  • O símbolo f_{y} indica a derivada parcial de f em relação a y (isto é, a taxa de variação de f quando mudamos y e mantemos x fixo).
    Neste passo eu só identifiquei o que o problema pede e os dados que temos; não calculei nada ainda.

Passo 2

O que é derivada parcial f_{y} e como calculá-la:
  • Intuição: para obter f_{y}(x,y) tratamos x como constante e derivamos f como se fosse uma função de uma única variável y. Ou seja, fixamos um plano vertical paralelo ao eixo y (por exemplo o plano x=\text{const}) e olhamos a curva que é a interseção da superfície z=f(x,y) com esse plano; f_{y} é a inclinação dessa curva no ponto.
  • Regra prática: na expressão f(x,y)=9-3x^{2}-y^{2}, os termos que dependem de x são constantes quando derivamos em relação a y. Derivamos apenas o termo que contém y.
    Agora aplico isso ao nosso f.

Passo 3

Cálculo de f_{y}(x,y):
  • Derivando 9 em relação a y 0.
  • Derivando -3x^{2} em relação a y, como x é tratado como constante, dá 0.
  • Derivando -y^{2} em relação a y obtemos -2y.
    Portanto
f_{y}(x,y) = -2y.

Passo 4

Avaliação em (2,1):
Substituo (x,y)=(2,1) em \,f_{y}(x,y)=-2y:
f_{y}(2,1) = -2\cdot 1 = -2.

Passo 5

Interpretação geométrica detalhada e com exemplos numéricos:
  • O número f_{y}(2,1)=-2 é a taxa de variação instantânea de z quando nos deslocamos na direção positiva de y a partir do ponto onde x=2 e y=1, mantendo x fixo. Em palavras simples: se eu aumentar y um pouco enquanto mantenho x=2, z diminui a um ritmo aproximado de 2 unidades de z para cada unidade de y.
  • Exemplo numérico: se eu aumentar y em 0,1 com x=2, então z muda aproximadamente \Delta z \approx f_{y}(2,1)\cdot 0,1 = -2\cdot 0,1 = -0,2. Ou seja, a altura da superfície cai cerca de 0,2.
  • Interpretação como reta tangente: considere a curva de interseção da superfície com o plano x=2. Essa curva é dada por t\mapsto (2,t,f(2,t)). A inclinação (derivada de z em relação a t) nessa curva no ponto t=1 é precisamente f_{y}(2,1)=-2. Portanto, geometricamente, f_{y}(2,1) é a inclinação da reta tangente àquela curva de interseção no ponto (2,1,f(2,1)).
  • Ponto concreto: f(2,1)=9-3\cdot 2^{2}-1^{2}=9-12-1=-4. Então o ponto na superfície é (2,1,-4). A reta tangente à interseção com x=2 tem equação (paramétrica, tomando s=y-1):
x=2,\qquad y=1+s,\qquad z=-4 + (-2)s = -4-2s.
Essa reta tem “inclinação” -2 na direção y- z.
  • Ligação com plano tangente: na aproximação linear da superfície perto de (2,1),
z \approx f(2,1) + f_{x}(2,1)(x-2) + f_{y}(2,1)(y-1),
o coeficiente de (y-1) é f_{y}(2,1)=-2; isso mostra que, dentro do plano tangente, a variação de z com y (quando x está fixo) é também -2.

Passo 6

Resumo motivador e dica para prova:
  • Na prova, quando pedirem o significado geométrico de uma derivada parcial f_{y}(a,b), diga: "é a taxa de variação de z quando aumento y mantendo x fixo, ou a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x=a no ponto (a,b,f(a,b))".
  • Calcule a derivada parcial tratando as outras variáveis como constantes e avalie no ponto. Dê um exemplo numérico rápido (como aumentar y em 0,1) para mostrar a interpretação prática — isso costuma agradar os corretores.

Resposta

-2. É a taxa de variação de z=f(x,y) na direção positiva de y no ponto (2,1); geometricamente, é a inclinação da reta tangente à curva obtida cortando a superfície pelo plano x=2 no ponto (2,1,-4).

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