Resolva se possível, as seguintes inequações em IR: \quad x^{2}\left|x^{2}-4\right|<x(x-2)
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva, em \mathbb{R}, a inequação
x^{2}\left|x^{2}-4\right|<x(x-2).
Informações dadas e o que é pedido:
Queremos todos os números reais x que satisfazem a desigualdade estrita acima.
A expressão envolve valor absoluto \left|x^{2}-4\right|; isso normalmente exige dividir o domínio em regiões onde o argumento do absoluto é não negativo ou negativo.
Não há restrição de domínio (todos os reais são permitidos), mas pontos onde a desigualdade se torna igualdade devem ser excluídos por ser desigualdade estrita.
Passo 2
Regra sobre valor absoluto (pequena aula): para qualquer expressão A\),
\[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=x^{2}-4\]. Assim separamos em duas regiões:
- Região (I): \(x^{2}-4\ge 0, ou seja |x|\ge 2.
- Região (II): x^{2}-4<0, ou seja |x|<2.
Vamos resolver a inequação em cada região independentemente e depois juntar as soluções (interseção com a região considerada em cada caso).]
Passo 3
Caso (I): |x|\ge 2. Então \left|x^{2}-4\right|=x^{2}-4. A inequação fica
x^{2}(x^{2}-4) < x(x-2).
Desenvolvendo e trazendo tudo para um lado:
x^{4}-4x^{2} < x^{2}-2x
x^{4}-5x^{2}+2x < 0.
Definimos a função polinomial
f(x)=x^{4}-5x^{2}+2x.
Passo 4
Fatoração de f(x) (passo-a-passo pequeno tutorial):
Note que x é fator comum em todos os termos de f(x), então podemos tirar x:
f(x)=x\bigl(x^{3}-5x+2\bigr).
Agora fatoramos o cúbico \;x^{3}-5x+2. Testando raízes racionais, vemos que x=2 é raiz porque 2^{3}-5\cdot2+2=8-10+2=0. Dividindo por (x-2) obtemos
x^{3}-5x+2=(x-2)(x^{2}+2x-1).
O quadrático x^{2}+2x-1 tem raízes
x=-1\pm\sqrt{2}.
Portanto a fatoração completa é
f(x)=x(x-2)(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2}).
Passo 5
Análise de sinal de f(x) na região |x|\ge 2:
Raízes de f: x=0,\;x=2,\;x=-1\pm\sqrt{2} (aproximadamente x\approx -2{,}4142,\;0{,}4142).
Na região |x|\ge 2 só interessam as sub-regiões x\le -2 e x\ge 2.
Para x>2: x>0 e os outros fatores (x-2),(x+1\pm\sqrt{2}) são positivos, logo f(x)>0. Portanto não resolve a inequação estrita f(x)<0. Em x=2 temos f(2)=0 (igualdade), então x=2 não é solução por ser estrita.
Para x\le -2: fazemos um estudo rápido de sinais atravessando a raiz -1-\sqrt{2}\approx -2{,}4142.
Se x<-1-\sqrt{2} (mais negativo que -2{,}4142), contagem de sinais dá f(x)>0.
Se -1-\sqrt{2}<x<-2, contagem mostra f(x)<0.
Em x=-1-\sqrt{2} temos f(x)=0 (excluir), em x=-2 calculando diretamente na inequação original obtemos\text{LHS}=(-2)^{2}\left|(-2)^{2}-4\right|=4\cdot 0=0,\quad \text{RHS}=(-2)(-4)=8,logo 0<8 é verdadeiro, então x=-2 satisfaz a desigualdade. (Note que a verificação direta confirma que o processamento algébrico não perdeu esse ponto.)
Conclusão na região x\le -2: a solução é-1-\sqrt{2}<x\le -2.
Passo 6
Caso (II): |x|<2. Então \left|x^{2}-4\right|=4-x^{2}. A inequação fica
x^{2}(4-x^{2})<x(x-2).
Desenvolvendo e trazendo tudo para um lado:
4x^{2}-x^{4} < x^{2}-2x
-x^{4}+3x^{2}+2x < 0.
Multiplicando por -1 (e invertendo a desigualdade):
x^{4}-3x^{2}-2x > 0.
Definimos
g(x)=x^{4}-3x^{2}-2x.
Passo 7
Fatoração de g(x) (passo-a-passo):
Colocando x em evidência:
g(x)=x(x^{3}-3x-2).
Testando raízes para o cúbico x^{3}-3x-2, vemos x=2 é raiz (porque 8-6-2=0). Dividindo, obtemos
x^{3}-3x-2=(x-2)(x+1)^{2}.
Assim
g(x)=x(x-2)(x+1)^{2}.
Passo 8
Sinal de g(x) na região |x|<2 (ou seja -2<x<2):
O fator (x+1)^{2} é sempre não negativo e só zera em x=-1. Assim fora de x=-1 o sinal de g(x) é o mesmo do produto x(x-2).
Queremos g(x)>0. Como (x+1)^{2}>0 para x\neq -1, a condição reduz-se ax(x-2)>0.Essa desigualdade é satisfeita para x<0 ou x>2. Mas dentro da região -2<x<2 só vale x<0.
Portanto dentro de -2<x<2 temos g(x)>0 para -2<x<0, exceto nos pontos onde g zera:
Em x=0 temos g(0)=0, não serve por ser estrita.
Em x=-1 temos g(-1)=0, não serve.
Conclusão na região |x|<2:-2<x<-1 \quad\text{ou}\quad -1<x<0.Ou seja (-2,-1)\cup(-1,0).
Passo 9
Juntando as soluções das duas regiões:
Da etapa do caso (I) obtivemos -1-\sqrt{2}<x\le -2.
Explicação: os primeiros dois intervalos se unem formando (-1-\sqrt{2},-1) com x=-2 incluído, e junto com (-1,0) dá o intervalo contínuo de -1-\sqrt{2} até 0, exceto o ponto x=-1 (que é raiz de igualdade e portanto excluído). Verificações pontuais rápidas confirmam:
x=-2 funciona (já checado).
x=-1 não (igualdade).
x=0 não (igualdade).
Valores fora desse conjunto (por exemplo x=1 ou x=-3) não satisfazem a desigualdade.