Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a inequação em
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- Há valores com valor absoluto:
e . Esses mudam de expressão em e em . - A expressão contém também
, que fatoriza como , indicando pontos especiais em e . - Portanto os pontos que vão dividir a linha real em regiões onde a expressão tem forma diferente são, no mínimo,
, e . - A tarefa é encontrar todos os
que tornam a expressão estritamente positiva.
Passo 2
Primeiro fazemos uma simplificação algébrica que deixa a inequação mais clara. Observando que
, escrevemos
Explicação rápida: eu apenas retirei o fator comum
das duas parcelas; isso é útil porque transforma a desigualdade numa produto de fatores cuja análise de sinal é mais simples.
Assim queremos resolver
Passo 3
Vamos estudar o sinal dos três “elementos” que aparecem no produto:
-
, -
, - e
.
Os sinais de
e de
são óbvios por intervalos. O trabalho principal é estudar
. Pelo comportamento dos valores absolutos, as quebras ocorrem em
e
. Logo vamos analisar
por intervalos onde
e
têm expressões simples:
,
e
. Para cada intervalo vamos obter uma expressão explícita e estudar seu sinal (usando, se preciso, fórmula quadrática).
Passo 4
Análise de
para
.
Aqui
e
. Então
Observação didática: o polinómio
tem discriminante
, portanto
para todo
. Com o sinal menos na frente, concluímos que
Passo 5
Análise de
para
.
Aqui
e
. Assim
Essa é uma parábola com coeficiente do
positivo. Para saber onde ela é positiva ou negativa calculamos as raízes pela fórmula quadrática:
As duas raízes são
(negativa) e
(positiva). Denotemos
Como a parábola abre para cima,
para
e
para
. Dentro do intervalo
isso significa:
Passo 6
Análise de
para
.
Aqui
e
. Então
Novamente, o discriminante é
, logo
para todo
. Em particular, para todo
temos
.
Resumo do sinal de
:
-
para . -
para . -
com . -
para (em particular para todo ).
Passo 7
Agora analisamos o sinal de
:
- Para
: e ⇒ . - Para
: e ⇒ . - Para
: e ⇒ .
Nos pontose temos .
Passo 8
Agora combinamos os sinais dos fatores para o produto
e queremos
. Vamos analisar por intervalos delimitados pelos pontos críticos
. Já sabemos que
, então a ordenação é
.
- Para
: e ⇒ . Não satisfaz. - Para
: e ⇒ . Satisfaz. - Em
: ⇒ . Como queremos estritamente , não entra. - Para
(isso engloba e ): e ⇒ . Não satisfaz. - Em
ou : ⇒ . Não satisfaz (estrita). - Para
: e ⇒ . Satisfaz.
Passo 9
Conclusão: os intervalos onde a inequação é verdadeira são
onde
.