Resolva se possível, as seguintes inequações em IR:
\quad x^{2}(x-2)|x|-\left(x^{2}-2 x\right)|x-1|>0

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a inequação em \mathbb{R}
x^{2}(x-2)|x|-\left(x^{2}-2 x\right)|x-1|>0.
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • Há valores com valor absoluto: |x| e |x-1|. Esses mudam de expressão em x=0 e em x=1.
  • A expressão contém também x^{2}-2x, que fatoriza como x(x-2), indicando pontos especiais em x=0 e x=2.
  • Portanto os pontos que vão dividir a linha real em regiões onde a expressão tem forma diferente são, no mínimo, x=0, x=1 e x=2.
  • A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a expressão estritamente positiva.

Passo 2

Primeiro fazemos uma simplificação algébrica que deixa a inequação mais clara. Observando que x^{2}-2x = x(x-2), escrevemos
x^{2}(x-2)|x|-\left(x^{2}-2 x\right)|x-1| = x(x-2)\bigl(x|x|-|x-1|\bigr).
Explicação rápida: eu apenas retirei o fator comum x(x-2) das duas parcelas; isso é útil porque transforma a desigualdade numa produto de fatores cuja análise de sinal é mais simples.
Assim queremos resolver
x(x-2)\bigl(x|x|-|x-1|\bigr)>0.

Passo 3

Vamos estudar o sinal dos três “elementos” que aparecem no produto:
  • x,
  • (x-2),
  • e B(x):=x|x|-|x-1|.
Os sinais de x e de x-2 são óbvios por intervalos. O trabalho principal é estudar B(x). Pelo comportamento dos valores absolutos, as quebras ocorrem em x=0 e x=1. Logo vamos analisar B(x) por intervalos onde |x| e |x-1| têm expressões simples: (-\infty,0), [0,1) e [1,\infty). Para cada intervalo vamos obter uma expressão explícita e estudar seu sinal (usando, se preciso, fórmula quadrática).

Passo 4

Análise de B(x) para x<0.
Aqui |x|=-x e |x-1|=1-x. Então
B(x)=x|x|-|x-1|=x(-x)-(1-x)=-x^{2}-1+x=-(x^{2}-x+1).
Observação didática: o polinómio x^{2}-x+1 tem discriminante \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0, portanto x^{2}-x+1>0 para todo x. Com o sinal menos na frente, concluímos que
B(x)<0\quad\text{para todo }x<0.

Passo 5

Análise de B(x) para 0\le x<1.
Aqui |x|=x e |x-1|=1-x. Assim
B(x)=x\cdot x-(1-x)=x^{2}-1+x=x^{2}+x-1.
Essa é uma parábola com coeficiente do x^{2} positivo. Para saber onde ela é positiva ou negativa calculamos as raízes pela fórmula quadrática:
x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
As duas raízes são \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} (negativa) e \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} (positiva). Denotemos
r:=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618\ldots
Como a parábola abre para cima, B(x)<0 para x<r e B(x)>0 para x>r. Dentro do intervalo [0,1) isso significa:
B(x)<0\quad\text{em }[0,r),\qquad B(r)=0,\qquad B(x)>0\quad\text{em }(r,1).

Passo 6

Análise de B(x) para x\ge1.
Aqui |x|=x e |x-1|=x-1. Então
B(x)=x^{2}-(x-1)=x^{2}-x+1.
Novamente, o discriminante é 1-4=-3<0, logo x^{2}-x+1>0 para todo x. Em particular, para todo x\ge1 temos B(x)>0.
Resumo do sinal de B(x):
  • B(x)<0 para x<0.
  • B(x)<0 para 0\le x<r.
  • B(r)=0 com r=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.
  • B(x)>0 para x>r (em particular para todo x\ge1).

Passo 7

Agora analisamos o sinal de x(x-2):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 x(x-2)>0.
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 x(x-2)<0.
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 x(x-2)>0.
    Nos pontos x=0 e x=2 temos x(x-2)=0.

Passo 8

Agora combinamos os sinais dos fatores para o produto
F(x):=x(x-2)B(x)
e queremos F(x)>0. Vamos analisar por intervalos delimitados pelos pontos críticos -\infty,0,r,1,2,\infty. Já sabemos que r\in(0,1), então a ordenação é -\infty<0<r<1<2<\infty.
  • Para x<0: x(x-2)>0 e B(x)<0 F(x)<0. Não satisfaz.
  • Para 0<x<r: x(x-2)<0 e B(x)<0 F(x)>0. Satisfaz.
  • Em x=r: B(r)=0 F(r)=0. Como queremos estritamente >\!0, x=r não entra.
  • Para r<x<2 (isso engloba (r,1) e [1,2)): x(x-2)<0 e B(x)>0 F(x)<0. Não satisfaz.
  • Em x=0 ou x=2: x(x-2)=0 F=0. Não satisfaz (estrita).
  • Para x>2: x(x-2)>0 e B(x)>0 F(x)>0. Satisfaz.

Passo 9

Conclusão: os intervalos onde a inequação é verdadeira são
(0,r)\quad\text{e}\quad(2,\infty),
onde r=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.

Resposta

\displaystyle \left(0,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup(2,\infty)

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