Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(a)
(a)
Passo 1
O problema dá a equação diferencial com condição inicial
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Apresento a transformada de Laplace e propriedades que vou usar (explicadas de forma prática).
Definição: para uma função definida em
,
Definição: para uma função
onde
é uma variável real (ou complexa) tal que a integral converge. Importante: a transformada transforma funções de
em funções de
e converte derivadas em polinômios em
(isso simplifica ODEs).
Propriedades que usaremos:
- Linearidade:
- Transformada de uma exponencial. Para
constante,
válido para
. Aqui
significa parte real de
, mas para nossa aplicação basta entender que precisamos de
maior que
para convergência.
- Transformada da derivada (fórmula crucial). Se
é bem comportada e , então
Breve justificativa (integração por partes):
. Tomando
e
e integrando por partes resulta em
. Essa fórmula é prática: ela substitui derivada por multiplicação por
e subtrai a condição inicial.
Com essas peças, aplicamos a transformada à equação diferencial para transformar a ODE em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicando
à equação
e usando linearidade:
Substituo as fórmulas da etapa anterior:
,
e
. Também uso
. Assim:
Passo 4
Agora resolvo a equação algébrica para
. Reuno termos em
:
Logo
Portanto
Precisamos inverter a transformada; para isso é útil decompor em frações simples a segunda parcela. Faço a decomposição
Multiplicando por
dá
Escolho valores convenientes de
para achar
e
:
- Para
: - Para
:
Então
Substituo em
:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Faço a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
, e usando linearidade:
Verificação rápida do que aprendemos: checo a condição inicial
que bate com
. Posso também checar a equação:
e então
confirma que a solução satisfaz a ODE.