Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
(a) y^{\prime}-3 y=e^{6 t}, y(0)=2$

Passo 1

O problema dá a equação diferencial com condição inicial
y'(t)-3y(t)=e^{6t},\qquad y(0)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t\ge0 e a condição inicial dada. Informações relevantes fornecidas:
\text{equação: }y'-3y=e^{6t},çã
\text{condição inicial: }y(0)=2.çã

Passo 2

Apresento a transformada de Laplace e propriedades que vou usar (explicadas de forma prática).
Definição: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável real (ou complexa) tal que a integral converge. Importante: a transformada transforma funções de t em funções de s e converte derivadas em polinômios em s (isso simplifica ODEs).
Propriedades que usaremos:
  1. Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
  1. Transformada de uma exponencial. Para a constante,
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt=\frac{1}{s-a},
válido para \Re(s)>a. Aqui \Re(s) significa parte real de s, mas para nossa aplicação basta entender que precisamos de s maior que a para convergência.
  1. Transformada da derivada (fórmula crucial). Se y(t) é bem comportada e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Breve justificativa (integração por partes): \mathcal{L}\{y'\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y'(t)\,dt. Tomando u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt e integrando por partes resulta em sY(s)-y(0). Essa fórmula é prática: ela substitui derivada por multiplicação por s e subtrai a condição inicial.
Com essas peças, aplicamos a transformada à equação diferencial para transformar a ODE em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 3

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} à equação \;y'(t)-3y(t)=e^{6t}\; e usando linearidade:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)-3\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s).
Substituo as fórmulas da etapa anterior: \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s) e \mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=\dfrac{1}{s-6}. Também uso y(0)=2. Assim:
\bigl(sY(s)-2\bigr)-3Y(s)=\frac{1}{s-6}.

Passo 4

Agora resolvo a equação algébrica para Y(s). Reuno termos em Y(s):
sY(s)-3Y(s)-2=\frac{1}{s-6}.
Logo
(s-3)Y(s)=2+\frac{1}{s-6}.
Portanto
Y(s)=\frac{2}{s-3}+\frac{1}{(s-3)(s-6)}.
Precisamos inverter a transformada; para isso é útil decompor em frações simples a segunda parcela. Faço a decomposição
\frac{1}{(s-3)(s-6)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s-6}.
Multiplicando por (s-3)(s-6)
1=A(s-6)+B(s-3).
Escolho valores convenientes de s para achar A e B:
  • Para s=3: 1=A(3-6)+B\cdot0\Rightarrow 1=-3A\Rightarrow A=-\frac{1}{3}.
  • Para s=6: 1=A\cdot0+B(6-3)\Rightarrow 1=3B\Rightarrow B=\frac{1}{3}.
Então
\frac{1}{(s-3)(s-6)}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-6}.
Substituo em Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s-3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-6}.
Agrupando os termos com \dfrac{1}{s-3}:
Y(s)=\left(2-\frac{1}{3}\right)\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-6}=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s-3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-6}.

Passo 5

Faço a transformada inversa termo a termo. Lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, e usando linearidade:
y(t)=\frac{5}{3}e^{3t}+\frac{1}{3}e^{6t}.
Verificação rápida do que aprendemos: checo a condição inicial
y(0)=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=\frac{6}{3}=2,
que bate com y(0)=2. Posso também checar a equação: \;y'(t)=5 e^{3t}+2 e^{6t}\; e então
y'(t)-3y(t)=\bigl(5 e^{3t}+2 e^{6t}\bigr)-3\bigl(\tfrac{5}{3}e^{3t}+\tfrac{1}{3}e^{6t}\bigr)=e^{6t},
confirma que a solução satisfaz a ODE.

Resposta

y(t)=\frac{5}{3}e^{3t}+\frac{1}{3}e^{6t}

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