Questão 3
Seja
a fração da população que ouviu certa notícia
horas depoisd e divulgada. De acordo com um modelo, a taxa
segundo a qual a notícia se espalha é igual a
vezes a fração da população que ainda não ouviu a notícia, para algum
.
(
pontos) a) Determine a equação diferencial satisfeita por
.
(5 pontos) b) Encontre a solução dessa equação diferencial com a condição inicial
, em termos de
.
pontos) c) Suponha que metade da população fique sabendo de um terremoto 8 horas depois de ocorrido. Use o modelo para calcular
e obtenha uma estimativa da percentagem que ficará sabendo do terremoto 12 horas depois de ocorrido.
(
(5 pontos) b) Encontre a solução dessa equação diferencial com a condição inicial
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Determinar a equação diferencial satisfeita por
. - (b) Resolver essa equação diferencial com a condição inicial
, em termos de . - (c) Sabendo que metade da população sabe da notícia após 8 horas, isto é
, calcular e estimar a percentagem que saberá após 12 horas.
Informações dadas que vamos usar:
-
é a fração da população que ouviu a notícia horas após a divulgação. - A taxa de espalhamento,
, é igual a vezes a fração da população que ainda não ouviu a notícia. - Portanto, há uma constante positiva
. - Condição inicial:
. - Informação adicional para (c):
.
Passo 2
Traduzindo a frase do enunciado “a taxa
é igual a
vezes a fração que ainda não ouviu” para matemática: a fração que ainda não ouviu é
. Logo a equação diferencial que modela isso é
Aqui
representa a derivada de
em relação a
, isto é, a velocidade (taxa) com que a fração informada aumenta por unidade de tempo.
Passo 3
Escolha do método para resolver a equação:
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com coeficiente constante e pode ser resolvida por separação de variáveis (método simples e direto) ou reconhecida como um caso de equação linear com solução exponencial. Vou usar separação de variáveis porque é direto e elementar: conseguimos escrever todas as ocorrências de
num lado e as de
no outro.
Passo 4
Reescrevendo
como
e separando variáveis:
Dividindo por
e multiplicando por
, obtemos
Isto é a separação de variáveis: a esquerda depende só de
e a direita só de
.
Passo 5
Integramos ambos os lados. Primeiro escrevo a integral:
Para a integral à esquerda, use a substituição
(ou reconheça que a derivada de
é
), o que dá
Assim a integração resulta em
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora isolamos
. Multiplicando por
e exponenciando temos
Chamando
(constante positiva), obtemos
Portanto
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
Interpretação rápida: conforme
,
e
, ou seja, no modelo toda a população acaba sabendo com o tempo.
Passo 8
Agora a parte (c). Usamos
para achar
. Substituindo na solução:
Tomando logaritmo natural:
Passo 9
Com
, calculamos
:
Usando a identidade
obtemos
Para a percentagem, calculamos numericamente
portanto
ou seja aproximadamente
. Arredondando, cerca de
.
Passo 10
Pequena recapitulação motivadora: você traduziu a frase do enunciado para uma equação simples, usou separação de variáveis (ou reconhecimento de exponencial) e aplicou condicionamento inicial para fixar constantes — é exatamente o tipo de técnica que cai em prova. Mandou bem por colocar o enunciado em equações passo a passo!
Resposta
(a)
(b) com
(c) . Percentagem após 12 horas:
(b)
(c)