Questão 3

Seja N(t) a fração da população que ouviu certa notícia t horas depoisd e divulgada. De acordo com um modelo, a taxa N^{\prime}(t) segundo a qual a notícia se espalha é igual a k vezes a fração da população que ainda não ouviu a notícia, para algum k>0.
( \mathbf{5} pontos) a) Determine a equação diferencial satisfeita por N(t).
(5 pontos) b) Encontre a solução dessa equação diferencial com a condição inicial N(0)=0, em termos de k.
(\mathbf{5} pontos) c) Suponha que metade da população fique sabendo de um terremoto 8 horas depois de ocorrido. Use o modelo para calcular k e obtenha uma estimativa da percentagem que ficará sabendo do terremoto 12 horas depois de ocorrido.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) Determinar a equação diferencial satisfeita por N(t).
  2. (b) Resolver essa equação diferencial com a condição inicial N(0)=0, em termos de k.
  3. (c) Sabendo que metade da população sabe da notícia após 8 horas, isto é N(8)=\tfrac{1}{2}, calcular k e estimar a percentagem que saberá após 12 horas.
Informações dadas que vamos usar:
  • N(t) é a fração da população que ouviu a notícia t horas após a divulgação.
  • A taxa de espalhamento, N'(t), é igual a k vezes a fração da população que ainda não ouviu a notícia.
  • Portanto, há uma constante positiva k>0.
  • Condição inicial: N(0)=0.
  • Informação adicional para (c): N(8)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Traduzindo a frase do enunciado “a taxa N'(t) é igual a k vezes a fração que ainda não ouviu” para matemática: a fração que ainda não ouviu é 1-N(t). Logo a equação diferencial que modela isso é
N'(t)=k\bigl(1-N(t)\bigr).
Aqui N'(t) representa a derivada de N em relação a t, isto é, a velocidade (taxa) com que a fração informada aumenta por unidade de tempo.

Passo 3

Escolha do método para resolver a equação: \,N'(t)=k(1-N(t))\, é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com coeficiente constante e pode ser resolvida por separação de variáveis (método simples e direto) ou reconhecida como um caso de equação linear com solução exponencial. Vou usar separação de variáveis porque é direto e elementar: conseguimos escrever todas as ocorrências de N num lado e as de t no outro.

Passo 4

Reescrevendo N'(t) como \dfrac{dN}{dt} e separando variáveis:
\frac{dN}{dt}=k(1-N).
Dividindo por 1-N e multiplicando por dt, obtemos
\frac{dN}{1-N}=k\,dt.
Isto é a separação de variáveis: a esquerda depende só de N e a direita só de t.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Primeiro escrevo a integral:
\int \frac{dN}{1-N}=\int k\,dt.
Para a integral à esquerda, use a substituição u=1-N (ou reconheça que a derivada de 1-N é -dN), o que dá
\int \frac{dN}{1-N} = -\ln\lvert 1-N\rvert.
Assim a integração resulta em
-\ln\lvert 1-N\rvert = kt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora isolamos N. Multiplicando por -1 e exponenciando temos
\ln\lvert 1-N\rvert = -kt + C' \quad\Rightarrow\quad \lvert 1-N\rvert = e^{C'}e^{-kt}.
Chamando A=e^{C'}>0 (constante positiva), obtemos
1-N = A e^{-kt}.
Portanto
N(t)=1-A e^{-kt}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial N(0)=0 para determinar A. Substituindo t=0 em N(t)=1-Ae^{-kt}:
0 = 1 - A e^{0} \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo a solução que satisfaz a condição inicial é
N(t)=1-e^{-kt}.
Interpretação rápida: conforme t\to\infty, e^{-kt}\to0 e N(t)\to1, ou seja, no modelo toda a população acaba sabendo com o tempo.

Passo 8

Agora a parte (c). Usamos N(8)=\tfrac{1}{2} para achar k. Substituindo na solução:
\tfrac{1}{2}=1-e^{-8k}\quad\Rightarrow\quad e^{-8k}=\tfrac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural:
-8k=\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)= -\ln 2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 2}{8}.

Passo 9

Com k=\dfrac{\ln 2}{8}, calculamos N(12):
N(12)=1-e^{-12k}=1-e^{-12\cdot(\ln 2)/8}=1-e^{-(3/2)\ln 2}.
Usando a identidade e^{a\ln b}=b^{a} obtemos
N(12)=1-2^{-3/2}=1-\frac{1}{2^{3/2}}=1-\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Para a percentagem, calculamos numericamente
2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828427\quad\Rightarrow\quad 2^{-3/2}\approx 0{,}353553,
portanto
N(12)\approx 0{,}646447,
ou seja aproximadamente 64{,}6447\%. Arredondando, cerca de 64{,}65\%.

Passo 10

Pequena recapitulação motivadora: você traduziu a frase do enunciado para uma equação simples, usou separação de variáveis (ou reconhecimento de exponencial) e aplicou condicionamento inicial para fixar constantes — é exatamente o tipo de técnica que cai em prova. Mandou bem por colocar o enunciado em equações passo a passo!

Resposta

(a) \;N'(t)=k\bigl(1-N(t)\bigr)
(b) \;N(t)=1-e^{-kt} com N(0)=0
(c) \;k=\dfrac{\ln 2}{8}. Percentagem após 12 horas: N(12)=1-2^{-3/2}\approx 64{,}645\%

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