Resolva (1+x) dy - y dx = 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x)\,dy - y\,dx = 0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes: não há condição inicial; as incógnitas são x (variável independente) e y (função de x). A equação relaciona dy e dx de forma que podemos procurar uma expressão para y em função de x.

Passo 2

Primeiro organizamos a equação para separar as diferenciais. Somando y\,dx em ambos os lados obtemos
(1+x)\,dy = y\,dx.
Isso apenas rearranja os termos — nada de mais complicado — para podermos dividir por quantidades apropriadas.

Passo 3

Agora dividimos ambos os lados por y(1+x), assumindo momentaneamente y\neq 0 e 1+x\neq 0 para legitimar a divisão. Isso nos dá
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{1+x}.
Aqui usamos a ideia de separação de variáveis: colocar todos os fatores que dependem de y com dy e os que dependem de x com dx. Observação importante: a solução y\equiv 0 deve ser verificada separadamente (e será incluída depois).

Passo 4

Integramos ambos os lados. Lembrando a fórmula básica de integração \displaystyle\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C, fazemos as integrais:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{1+x}.
Para o lado direito, podemos usar a substituição u=1+x (então du=dx), o que dá a mesma forma logarítmica. Assim obtemos
\ln|y| = \ln|1+x| + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 5

Manipulamos a igualdade dos logaritmos para isolar y. Subtraindo \ln|1+x| de ambos os lados:
\ln\!\left|\frac{y}{1+x}\right| = C.
Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{y}{1+x}\right| = e^{C}.
Chamando e^{C} de uma nova constante positiva C_1>0, podemos eliminar o valor absoluto permitindo uma constante C arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero). Assim obtemos a forma mais prática da solução geral:
\frac{y}{1+x} = C \quad\Rightarrow\quad y = C(1+x),
onde C\in\mathbb{R}. Note que C=0 corresponde à solução trivial y\equiv 0 (já mencionada).

Passo 6

Verificação rápida: se y = C(1+x) então dy = C\,dx. Substituindo na equação original:
(1+x)\,dy - y\,dx = (1+x)C\,dx - C(1+x)\,dx = 0,
logo a função encontrada satisfaz a equação diferencial para todo x.

Passo 7

Comentário sobre domínio: durante a separação dividimos por 1+x, mas a expressão final y=C(1+x) é bem definida para todo x. Em particular, em x=-1 temos y=0 para qualquer C. A solução geral apresentada é, portanto, válida globalmente como família de retas passando por (-1,0).

Resposta

y = C(1+x),\; C\in\mathbb{R}

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