Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
\frac{d \theta}{d t}=\frac{\left(\theta t^{2}-\cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta)\right)}{t\left(1-\theta^{2}\right)}
\frac{d \theta}{d t}=\frac{\left(\theta t^{2}-\cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta)\right)}{t\left(1-\theta^{2}\right)}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
Informações dadas e o que se pede:
- A incógnita é
, função de . - A equação é de primeira ordem, não linear (aparecem termos como
e fator ). - O objetivo é encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita que a determine), usando um método apropriado.
Passo 2
Primeiro vamos analisar possibilidades padrão de resolução (sempre vale checar essas antes de tentar um “truque” estranho):
- Separável? Para ser separável precisaríamos escrever algo do tipo
. Se tentarmos isolar, obtém-se
o que ainda tem
no lado esquerdo (porque o numerador e o denominador dependem de
e
misturados), logo não é separável diretamente.
- Linear em
? Uma equação linear teria a forma . Aqui temos dependência não linear por no denominador e por , então não é linear. - Exata? Escrevendo em forma diferencial
testando exatidão dá
e
, não iguais, e testar fatores integrantes usuais (função só de
ou só de
) não produz uma forma simples. Portanto não é imediatamente exata com um fator integrante simples.
- Homogênea / substituições usuais? O termo
sugere tentar uma mudança ligada a (porque ), enquanto o termo sugere substituições trigonométricas. Vamos testar a ideia natural: usar uma mudança que simplifique o fator .
Nenhuma das técnicas elementares (separação, linear, exata com fator simples, homogênea padrão) resolve a equação de forma direta. Vou seguir a substituição que aproveita o fator
, mostrar o que acontece e explicar porque o problema não reduz a uma solução elementar simples — isso é informação importante para uma prova: saber quando podemos resolver em formas fechadas e quando não.
Passo 3
Tentativa com a mudança natural que “remove” o fator
:
defina
defina
isso implica
e
Motivação:
, então mudanças envolvendo
costumam ajudar quando aparece
no denominador.
Agora substituímos na equação original. A equação original é
Aplicando
e
e lembrando que
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Esta é a equação para
.
Passo 4
Análise do resultado e interpretação didática:
- A mudança
limpou o denominador em , o que costuma ser um passo útil. No entanto, o novo lado direito contém e fatores e . Isso mistura fortemente as funções hiperbólicas e trigonométricas e o tempo de modo que a equação resultante para não é separável, nem linear, nem de um tipo resolvível por integrais elementares conhecidos. - Ou seja: fizemos uma mudança natural e transformamos a equação numa forma mais “tratável” do ponto de vista de identificar a estrutura, mas a equação resultante continua não integrável em funções elementares usuais (funções elementares=polinômios, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas, hiperbólicas e combinações racionais destas).
- Conclusão teórica prática (muito útil em prova): quando uma substituição natural (aqui
) não leva a uma equação que seja separável, linear ou exata com fator integrante simples, então normalmente não se espera uma solução fechada em termos de funções elementares — a resolução passa a ser por quadraturas (expressar a solução por integrais impossíveis de calcular em forma fechada) ou por métodos numéricos.
Passo 5
Como apresentar a solução na forma adequada (solução implícita por quadratura) e o que se pode escrever explicitamente:
- Partindo da equação original, podemos escrever a equação em forma de quadratura (forma implícita): definindo
obtemos a EDO para
Isto é uma EDO de primeira ordem em
na qual a variável
e
não se separam. Logo, a solução geral não é expressável por uma primitiva elementar conhecida. A solução existe (teorema de existência e unicidade local: RHS é suave nos pontos onde
e
finito) e pode ser dada implicitamente por quadratura formal:
onde
. (Isto é uma escrita formal: na prática a integral do lado esquerdo depende de
também, portanto resolve-se numericamente.)
Passo 6
O que fazer na prática (e o que é esperado numa prova):
- Se a questão pede “resolver” e não há condições iniciais, o correto é:
- mostrar que tentativas padrão (separação, linear, exata simples) falham;
- apresentar a substituição natural
que simplifica o denominador e obter a EDO equivalente para ; - concluir que a EDO resultante não é integrável em funções elementares e portanto a solução geral só pode ser dada por quadratura implícita ou por métodos numéricos.
- Se a prova exige mostrar um procedimento resolutivo, faça exatamente os cálculos da mudança
(como fiz nos passos anteriores) e então escreva que a solução é obtida numericamente ou implicitamente. - Para um problema com condição inicial
, aplique um método numérico (por exemplo Runge–Kutta de 4ª ordem) sobre a EDO original ou sobre a EDO em para obter aproximada.
Resposta
A equação não admite solução explícita em termos de funções elementares usuais. Com a mudança
a equação transforma-se em
que não é separável nem linear nem exata com um fator integrante simples; portanto a solução geral só pode ser dada por quadratura implícita ou obtida numericamente (por exemplo por Runge–Kutta) sujeita a uma condição inicial.