Resolva cada equação diferencial abaixo utilizando algum método apropriado.
\frac{d \theta}{d t}=\frac{\left(\theta t^{2}-\cos (\theta) \operatorname{sen}(\theta)\right)}{t\left(1-\theta^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
\frac{d\theta}{dt}=\frac{\theta t^{2}-\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\theta)}{t\left(1-\theta^{2}\right)}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é \theta=\theta(t), função de t.
  • A equação é de primeira ordem, não linear (aparecem termos como \cos(\theta)\sin(\theta) e fator 1-\theta^2).
  • O objetivo é encontrar a solução geral \theta(t) (ou uma forma implícita que a determine), usando um método apropriado.

Passo 2

Primeiro vamos analisar possibilidades padrão de resolução (sempre vale checar essas antes de tentar um “truque” estranho):
  • Separável? Para ser separável precisaríamos escrever algo do tipo g(\theta)\,d\theta = h(t)\,dt. Se tentarmos isolar, obtém-se
\frac{t(1-\theta^2)}{\theta t^2-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta = dt,
o que ainda tem t no lado esquerdo (porque o numerador e o denominador dependem de t e \theta misturados), logo não é separável diretamente.
  • Linear em \theta? Uma equação linear teria a forma d\theta/dt + p(t)\theta = q(t). Aqui temos dependência não linear por 1-\theta^2 no denominador e por \cos\theta\sin\theta, então não é linear.
  • Exata? Escrevendo em forma diferencial
(\theta t^2-\cos\theta\sin\theta)\,dt - t(1-\theta^2)\,d\theta = 0,
testando exatidão dá \partial M/\partial\theta = t^2 - \cos2\theta e \partial N/\partial t = -(1-\theta^2), não iguais, e testar fatores integrantes usuais (função só de t ou só de \theta) não produz uma forma simples. Portanto não é imediatamente exata com um fator integrante simples.
  • Homogênea / substituições usuais? O termo 1-\theta^2 sugere tentar uma mudança ligada a \operatorname{artanh}(\theta) (porque \frac{d}{d\theta}\operatorname{artanh}\theta = \frac{1}{1-\theta^2}), enquanto o termo \cos\theta\sin\theta sugere substituições trigonométricas. Vamos testar a ideia natural: usar uma mudança que simplifique o fator 1-\theta^2.
Nenhuma das técnicas elementares (separação, linear, exata com fator simples, homogênea padrão) resolve a equação de forma direta. Vou seguir a substituição que aproveita o fator 1-\theta^2, mostrar o que acontece e explicar porque o problema não reduz a uma solução elementar simples — isso é informação importante para uma prova: saber quando podemos resolver em formas fechadas e quando não.

Passo 3

Tentativa com a mudança natural que “remove” o fator 1-\theta^2:
defina
u=\operatorname{arctanh}(\theta)=\frac12\ln\!\frac{1+\theta}{1-\theta},
isso implica \theta=\operatorname{tanh} u e
\frac{d\theta}{dt}=\operatorname{sech}^2(u)\,\frac{du}{dt}.
Motivação: \displaystyle\frac{d}{d\theta}\operatorname{arctanh}\theta=\frac{1}{1-\theta^2}, então mudanças envolvendo \operatorname{arctanh} costumam ajudar quando aparece 1-\theta^2 no denominador.
Agora substituímos na equação original. A equação original é
\frac{d\theta}{dt}=\frac{\theta t^{2}-\cos\theta\sin\theta}{t(1-\theta^{2})}.
Aplicando \theta=\operatorname{tanh} u e d\theta/dt=\operatorname{sech}^2 u\, du/dt e lembrando que 1-\theta^2=1-\operatorname{tanh}^2 u=\operatorname{sech}^2 u, obtemos
\operatorname{sech}^2 u\;\frac{du}{dt} \;=\; \frac{t^2\operatorname{tanh} u - \cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u)}{t\,\operatorname{sech}^2 u}.
Multiplicando ambos os lados por \operatorname{sech}^{-2}u=\operatorname{cosh}^2 u resulta
\frac{du}{dt} \;=\; \frac{\operatorname{cosh}^4 u}{t}\,\bigl(t^2\operatorname{tanh} u - \cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u)\bigr).
Esta é a equação para u(t).

Passo 4

Análise do resultado e interpretação didática:
  • A mudança u=\operatorname{arctanh}\theta limpou o denominador em 1-\theta^2, o que costuma ser um passo útil. No entanto, o novo lado direito contém \cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u) e fatores \operatorname{cosh}^4 u e t^2\operatorname{tanh} u. Isso mistura fortemente as funções hiperbólicas e trigonométricas e o tempo t de modo que a equação resultante para u(t) não é separável, nem linear, nem de um tipo resolvível por integrais elementares conhecidos.
  • Ou seja: fizemos uma mudança natural e transformamos a equação numa forma mais “tratável” do ponto de vista de identificar a estrutura, mas a equação resultante continua não integrável em funções elementares usuais (funções elementares=polinômios, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas, hiperbólicas e combinações racionais destas).
  • Conclusão teórica prática (muito útil em prova): quando uma substituição natural (aqui \operatorname{arctanh}) não leva a uma equação que seja separável, linear ou exata com fator integrante simples, então normalmente não se espera uma solução fechada em termos de funções elementares — a resolução passa a ser por quadraturas (expressar a solução por integrais impossíveis de calcular em forma fechada) ou por métodos numéricos.

Passo 5

Como apresentar a solução na forma adequada (solução implícita por quadratura) e o que se pode escrever explicitamente:
  • Partindo da equação original, podemos escrever a equação em forma de quadratura (forma implícita): definindo u=\operatorname{arctanh}\theta obtemos a EDO para u
\frac{du}{dt}=\frac{\operatorname{cosh}^4 u}{t}\Bigl(t^2\operatorname{tanh} u-\cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u)\Bigr).
Isto é uma EDO de primeira ordem em u na qual a variável t e u não se separam. Logo, a solução geral não é expressável por uma primitiva elementar conhecida. A solução existe (teorema de existência e unicidade local: RHS é suave nos pontos onde t\neq 0 e u finito) e pode ser dada implicitamente por quadratura formal:
\int_{u_0}^{u(t)} \frac{du}{\frac{\operatorname{cosh}^4 u}{t}\bigl(t^2\operatorname{tanh} u-\cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u)\bigr)} = t - t_0,
onde u_0=u(t_0)=\operatorname{arctanh}\theta(t_0). (Isto é uma escrita formal: na prática a integral do lado esquerdo depende de t também, portanto resolve-se numericamente.)

Passo 6

O que fazer na prática (e o que é esperado numa prova):
  • Se a questão pede “resolver” e não há condições iniciais, o correto é:
    1. mostrar que tentativas padrão (separação, linear, exata simples) falham;
    2. apresentar a substituição natural u=\operatorname{arctanh}\theta que simplifica o denominador e obter a EDO equivalente para u;
    3. concluir que a EDO resultante não é integrável em funções elementares e portanto a solução geral só pode ser dada por quadratura implícita ou por métodos numéricos.
  • Se a prova exige mostrar um procedimento resolutivo, faça exatamente os cálculos da mudança u=\operatorname{arctanh}\theta (como fiz nos passos anteriores) e então escreva que a solução é obtida numericamente ou implicitamente.
  • Para um problema com condição inicial \theta(t_0)=\theta_0, aplique um método numérico (por exemplo Runge–Kutta de 4ª ordem) sobre a EDO original ou sobre a EDO em u para obter \theta(t) aproximada.

Resposta

A equação não admite solução explícita em termos de funções elementares usuais. Com a mudança
u=\operatorname{arctanh}(\theta)\quad(\text{ou seja }\theta=\operatorname{tanh} u)
a equação transforma-se em
\frac{du}{dt}=\frac{\operatorname{cosh}^4 u}{t}\Bigl(t^2\operatorname{tanh} u-\cos(\operatorname{tanh} u)\sin(\operatorname{tanh} u)\Bigr),
que não é separável nem linear nem exata com um fator integrante simples; portanto a solução geral só pode ser dada por quadratura implícita ou obtida numericamente (por exemplo por Runge–Kutta) sujeita a uma condição inicial.

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