5^a Questão: Seja a função f(x, y)=x^4+2 x^2-y^4+2 y^2.
(a) (pontos) Determine os pontos críticos de função f e classifique-os.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver um exercício de cálculo multivariável. A parada é encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{4} + 2x^{2} - y^{4} + 2y^{2} $ e depois classificar esses pontos. Pra isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $, igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Depois, pra classificar os pontos, vamos usar o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia somente uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
4x^3 + 4x = 0 -4y^3 + 4y = 0
Primeiro, simplificamos cada equação:
Para $ x $:
x
Isso nos dá $ x = 0 $, já que $ x^{2} + 1 = 0 $ não tem solução real.
Para $ y $:
4x^3 + 4x = 0 implies 4x(x^2 + 1) = 0
Isso nos dá $ y = 0 $ ou $ y^{2} = 1 $, ou seja, $ y = \pm 1 $.
Assim, os pontos críticos são:
x = 0

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 + 4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -12y^2 + 4
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
A gente monta a matriz Hessiana $ H $:
H
O determinante da Hessiana é:
H = fxx & fxy fxy & fyy
Vamos calcular $ D $ e analisar os pontos:
  1. Ponto (0, 0):
D = fxxfyy - (fxy)^2
D
fxx = 12(0)^2 + 4 = 4
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, esse ponto é um mínimo local.
  1. Ponto (0, 1):
fyy = -12(0)^2 + 4 = 4
D = 4 times 4 - 0 = 16 > 0
D > 0
Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (0, -1):
fxx > 0
fxx = 12(0)^2 + 4 = 4
fyy = -12(1)^2 + 4 = -8
Assim como o anterior, esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{4} + 2x^{2} - y^{4} + 2y^{2} $ são $ (0, 0) $, $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $. O ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local, enquanto os pontos $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $ são pontos de sela.

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