Seja
Então, para todo
:
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \arcsin(x) $ e queremos encontrar a expressão $ f’(x) + \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $ para todo $ x $ no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e algumas propriedades das funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $, ou seja, $ f’(x) $. A função é o produto de duas funções: $ \sqrt{1 - x^{2}} $ e $ \arcsin(x) $. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que se temos $ u(x) \cdot v(x) $, então $ (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Vamos identificar $ u(x) = \sqrt{1 - x^{2}} $ e $ v(x) = \arcsin(x) $. Agora, vamos calcular as derivadas separadamente.
-
Derivada de $ u(x) $:
-
Derivada de $ v(x) $:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte da expressão que queremos: $ \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $.
Passo 6
Agora, somamos $ f’(x) $ e $ \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $:
Resposta
A expressão $ f^{\prime}(x) + \frac{x f(x)}{1 -x^{2}} $ é igual a 1.