Seja f(x)=raiz1-x^2 arcsen x Então, para todo x in]-1,1[ : f^prime(x)+x f(x)1-x^2 é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} \cdot \arcsin(x) $ e queremos encontrar a expressão $ f’(x) + \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $ para todo $ x $ no intervalo f(x) = raiz1 - x^2 cdot arcsin(x) . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas e algumas propriedades das funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) $, ou seja, $ f’(x) $. A função é o produto de duas funções: $ \sqrt{1 - x^{2}} $ e $ \arcsin(x) $. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que se temos $ u(x) \cdot v(x) $, então $ (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Vamos identificar $ u(x) = \sqrt{1 - x^{2}} $ e $ v(x) = \arcsin(x) $. Agora, vamos calcular as derivadas separadamente.
  • Derivada de $ u(x) $:
    u(x) = raiz1 - x^2
  • Derivada de $ v(x) $:
    v(x) = arcsin(x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = ( -xraiz1 - x^2 ) arcsin(x) + raiz1 - x^2 cdot 1raiz1 - x^2
Simplificando:
f'(x) = -x cdot arcsin(x)raiz1 - x^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da expressão que queremos: $ \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $.
x f(x)1 - x^2

Passo 6

Agora, somamos $ f’(x) $ e $ \frac{x f(x)}{1 - x^{2}} $:
f'(x)

Resposta

A expressão $ f^{\prime}(x) + \frac{x f(x)}{1 -x^{2}} $ é igual a 1.

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