5^a Questão: Seja a função f(x, y)=x^4+2 x^2-y^4+2 y^2.
(b) (pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f na regiāo
D=(x, y) in R mid x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{4} + 2x^{2} - y^{4} + 2y^{2} $ e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dela na região $ D = {(x, y) \in \mathbb{R} \mid x^{2} + y^{2} \leq 1} $. Pra isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de funções em regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região $ D $. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
D
x

Passo 3

Vamos igualar as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
4x^3 + 4x = 0 Rightarrow 4x(x^2 + 1) = 0 Rightarrow x = 0
-4y^3 + 4y = 0 Rightarrow 4y(-y^2 + 1) = 0 Rightarrow y = 0 ou y = pm1
Então, os pontos críticos são:
(0, 0), (0, 1), (0, -1)
Note que $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $ estão na fronteira da região $ D $.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ f $ nesses pontos críticos internos:
f
Os outros pontos críticos estão na fronteira, então vamos analisar a função na fronteira separadamente.

Passo 5

Para a fronteira $ x^{2} + y^{2} = 1 $, podemos parametrizar usando trigonometria:
x^2 + y^2 = 1
Substituindo na função:
x = cos theta, y = sin theta
Simplificando:
f(cos theta, sin theta) = cos^4 theta + 2cos^2 theta - sin^4 theta + 2sin^2 theta
cos^4 theta - sin^4 theta = (cos^2 theta + sin^2 theta)(cos^2 theta - sin^2 theta) = cos 2theta
Portanto:
2cos^2 theta + 2sin^2 theta = 2(cos^2 theta + sin^2 theta) = 2
Sabemos que $ \cos 2\theta $ varia entre -1 e 1, então:
f = cos 2theta + 2
Isso significa que na fronteira, o valor mínimo de $ f $ é 1 e o máximo é 3.

Resposta

O valor mínimo absoluto de $ f $ na região $ D $ é 0 no ponto $ (0, 0) $ e o valor máximo absoluto é 3 nos pontos $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $.

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