Questão: Seja a função
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(b) (pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
na regiāo
(b) (pontos) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = x^{4} + 2x^{2} - y^{4} + 2y^{2} $ e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos absolutos dela na região $ D = {(x, y) \in \mathbb{R} \mid x^{2} + y^{2} \leq 1} $. Pra isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e análise de funções em regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região $ D $. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Vamos igualar as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos são:
Note que $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $ estão na fronteira da região $ D $.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ f $ nesses pontos críticos internos:
Os outros pontos críticos estão na fronteira, então vamos analisar a função na fronteira separadamente.
Passo 5
Para a fronteira $ x^{2} + y^{2} = 1 $, podemos parametrizar usando trigonometria:
Substituindo na função:
Simplificando:
Portanto:
Sabemos que $ \cos 2\theta $ varia entre -1 e 1, então:
Isso significa que na fronteira, o valor mínimo de $ f $ é 1 e o máximo é 3.
Resposta
O valor mínimo absoluto de $ f $ na região $ D $ é 0 no ponto $ (0, 0) $ e o valor máximo absoluto é 3 nos pontos $ (1, 0) $ e $ (-1, 0) $.