Estude os subconjuntos do plano- x y de cada item a seguir.
Determine o vértice e o eixo da parábola dada pela equação y^2-4 x-4 y=0, e encontre sua representação geométrica.

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola definida por
y^2 - 4x - 4y = 0
Pede para achar vértice, eixo e descrever sua representação geométrica. Vamos usar a teoria de forma canônica de parábolas “deitadas”, isto é, a forma
(y - k)^2 = 4pigl(x - hr) 
onde (h,k) é o vértice e p indica a abertura.

Passo 2

Primeiro isolamos os termos em y e completamos o quadrado. Partimos de
y^2 - 4x - 4y = 0
Passo 1: levamos 4x para o outro lado
y^2 - 4y = 4x
Passo 2: completamos o quadrado em y. Como y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2, somamos 4 em ambos os lados:
y^2 - 4y + 4 = 4x + 4
Logo,
(y - 2)^2 = 4igl(x + 1r) 

Passo 3

Agora comparamos com a forma padrão:
(y - k)^2 = 4pigl(x - hr) 
Temos:
  • k = 2
  • h = -1
  • 4p = 4 p = 1.

Passo 4

A partir disso encontramos:
  • Vértice: (h,k) = (-1,2).
  • Foco: (h + p,,k) = (-1 + 1,,2) = (0,2).
  • Diretriz: reta x = h - p = -1 - 1 = -2.
  • Eixo: reta que passa pelo vértice e foco, ou seja, y = k = 2.

Passo 5

Geométricamente, é uma parábola com vértice em (-1,2), abrindo para a direita, eixo horizontal y=2, foco em (0,2) e diretriz x=-2.

Resposta

Vértice: (-1,2)
Eixo: reta y = 2
Foco: (0,2)
Diretriz: x = -2
Equação canônica: (y − 2)² = 4(x + 1)
Abertura: para a direita

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