Verifique se a função
é contínua para todo
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ definida de forma diferente para valores de $ x $ maiores ou iguais a zero e para valores menores que zero. O objetivo é verificar se essa função é contínua para todo $ x $. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como analisar a continuidade em pontos específicos, especialmente onde a definição da função muda.
Passo 2
Vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto $ c $ se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em $ c $, ou seja, $ f© $ existe.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $, ou seja, $ \lim_{x \to c} f(x) = f© $.
Passo 3
Observando a função dada:
Podemos notar que para $ x \neq 0 $, a função é definida por expressões lineares, que são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, a única preocupação é verificar a continuidade em $ x = 0 $, onde a definição da função muda.
Passo 4
Vamos verificar as três condições de continuidade em $ x = 0 $:
- A função está definida em 0:
Portanto, $ f(0) $ existe e é igual a 1.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 existe:
Vamos calcular os limites laterais.
- Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
- Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
Como ambos os limites laterais são iguais a 1, o limite geral existe e é igual a 1.
- O limite é igual ao valor da função em 0:
Portanto, a terceira condição também é satisfeita.
Resposta
A função $ f(x) $ é contínua para todo $ x $.