Verifique se a função f(x) é contínua para todo x:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x) $ definida de forma diferente para valores de $ x $ maiores ou iguais a zero e para valores menores que zero. O objetivo é verificar se essa função é contínua para todo $ x $. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como analisar a continuidade em pontos específicos, especialmente onde a definição da função muda.

Passo 2

Vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto $ c $ se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em $ c $, ou seja, $ f© $ existe.
  2. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ existe.
  3. O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual ao valor da função em $ c $, ou seja, $ \lim_{x \to c} f(x) = f© $.

Passo 3

Observando a função dada:
f(x)= x + 1, & se x >= 0 -3x + 1, & se x < 0
Podemos notar que para $ x \neq 0 $, a função é definida por expressões lineares, que são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, a única preocupação é verificar a continuidade em $ x = 0 $, onde a definição da função muda.

Passo 4

Vamos verificar as três condições de continuidade em $ x = 0 $:
  1. A função está definida em 0:
x = 0
Portanto, $ f(0) $ existe e é igual a 1.
  1. O limite da função quando $ x $ se aproxima de 0 existe:
    Vamos calcular os limites laterais.
  • Limite pela direita ($ x \to 0^+ $):
f(0) = 0 + 1 = 1
  • Limite pela esquerda ($ x \to 0^- $):
f(0)
Como ambos os limites laterais são iguais a 1, o limite geral existe e é igual a 1.
  1. O limite é igual ao valor da função em 0:
x
Portanto, a terceira condição também é satisfeita.

Resposta

A função $ f(x) $ é contínua para todo $ x $.

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