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Seja f: R R tal que 1+x^2+x^63 <= f(x)+1 <= sec x^2+x^63, para todo x in R. Calcule lim x 0 f(x) e lim x 0(f(x) cos (1x+x^2)).

Passo 1

Temos uma função real tal que para todo real vale a desigualdade
1 + x^2 + x^63 <= f(x) + 1 <= sec(x^2) + x^63
Queremos calcular limxto0 f(x) e limxto0l(f(x)costfrac1x+x^2r). O conteúdo que vamos usar é Limites de Funções e, em especial, o Teorema do Confronto, além da propriedade de que cosseno é limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Começamos isolando f(x): subtraindo 1 de cada termo da desigualdade, obtemos
x^2 + x^63 ;<=; f(x) ;<=; sec(x^2) - 1 + x^63

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que emolduram f(x):
  • Para o limite inferior,
    limxto0l(x^2 + tfracx^63r) = 0 + 0 = 0
  • Para o limite superior, lembrando que sec t - 1 to 0 quando tto0 e x^6/3to0, temos
    limxto0l(sec(x^2)-1 + tfracx^63r) = 0 + 0 = 0
    Como ambas as funções-limite tendem a 0 e x^2 + x^6/3 <= f(x) <= sec(x^2)-1 + x^6/3, pelo Teorema do Confronto segue
    limxto0 f(x) = 0

Passo 4

Para o segundo limite, usamos que cosl(1/(x+x^2)r) é sempre um valor entre -1 e 1. Como já mostramos que f(x)to0, o produto de uma função que tende a zero por outra limitada permanece tendendo a zero. Logo,
limxto0l(f(x)costfrac1x+x^2r) = 0

Resposta

limxto0 f(x) = 0 e limxto0 (f(x)costfrac1x+x^2) = 0.

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