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Seja
tal que
, para todo
. Calcule
e
.
Seja
Passo 1
Temos uma função real tal que para todo real vale a desigualdade
Queremos calcular
e
. O conteúdo que vamos usar é Limites de Funções e, em especial, o Teorema do Confronto, além da propriedade de que cosseno é limitado entre -1 e 1.
Passo 2
Começamos isolando
: subtraindo 1 de cada termo da desigualdade, obtemos
Passo 3
Agora calculamos os limites das funções que emolduram
:
- Para o limite inferior,
- Para o limite superior, lembrando que
quando e , temos
Como ambas as funções-limite tendem a 0 e, pelo Teorema do Confronto segue
Passo 4
Para o segundo limite, usamos que
é sempre um valor entre -1 e 1. Como já mostramos que
, o produto de uma função que tende a zero por outra limitada permanece tendendo a zero. Logo,