Questão 1 - Use a regra de L’Hospital e o TFC - parte 1 para calcular o limite abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é a função definida por
. - O denominador é a função
. - Queremos o valor do quociente
quando se aproxima de .
Passo 2
Verifiquemos a forma do limite ao substituir
:
-
. - O denominador em
é .
Logo o limite tem a forma indeterminada. Isso indica que podemos tentar usar a regra de L’Hospital (desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas).
Passo 3
Apresento o Teorema Fundamental do Cálculo — parte 1 (TFC parte 1) e verifico suas hipóteses:
- Enunciado do TFC parte 1: se
é contínua numa vizinhança de , então a função é diferenciável e sua derivada é Aqui é um ponto fixo (no nosso problema ), é a variável de integração, é a variável de . - No problema,
. A função exponencial é contínua em todo lugar, e a composição também é contínua para todo . Portanto as hipóteses do TFC parte 1 estão satisfeitas. - Consequentemente, a derivada do numerador é
Passo 4
Recordando a regra de L’Hospital e verificando hipóteses:
- Regra de L’Hospital (caso
): se e , e e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), e existe (ou é ), então Aqui é o numerador e o denominador. - No nosso caso,
e . Já vimos que e . Pelo TFC parte 1, é diferenciável e . A derivada de é . Ambas as derivadas existem numa vizinhança de e não é zero na vizinhança (é constante igual a ). - Portanto podemos aplicar a regra de L’Hospital e escrever
Passo 5
Calculo o limite resultante:
- A função
é contínua em , então o limite é simplesmente o valor em :
Passo 6
Conclusão final: o limite pedido vale
. (Você pode pensar intuitivamente que, para
pequeno, a integral
é aproximadamente
, então o quociente tende a
.)