Questão 1 - Use a regra de L’Hospital e o TFC - parte 1 para calcular o limite abaixo
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,d t}{x}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é a função definida por \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,d t.
  • O denominador é a função x.
  • Queremos o valor do quociente F(x)/x quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Verifiquemos a forma do limite ao substituir x=0:
  • \displaystyle F(0)=\int_{0}^{0} e^{t^{2}}\,d t=0.
  • O denominador em x=0 é 0.
    Logo o limite tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que podemos tentar usar a regra de L’Hospital (desde que as hipóteses dela sejam satisfeitas).

Passo 3

Apresento o Teorema Fundamental do Cálculo — parte 1 (TFC parte 1) e verifico suas hipóteses:
  • Enunciado do TFC parte 1: se f é contínua numa vizinhança de a, então a função F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,d té diferenciável e sua derivada é F'(x)=f(x).Aqui a é um ponto fixo (no nosso problema a=0), t é a variável de integração, x é a variável de F.
  • No problema, f(t)=e^{t^{2}}. A função exponencial é contínua em todo lugar, e a composição t\mapsto e^{t^{2}} também é contínua para todo t. Portanto as hipóteses do TFC parte 1 estão satisfeitas.
  • Consequentemente, a derivada do numerador é \frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,d t\right)=e^{x^{2}}.

Passo 4

Recordando a regra de L’Hospital e verificando hipóteses:
  • Regra de L’Hospital (caso 0/0): se \lim_{x\to c} g(x)=0 e \lim_{x\to c} h(x)=0, e g e h são diferenciáveis numa vizinhança de c (exceto possivelmente em c), e \lim_{x\to c} \dfrac{g'(x)}{h'(x)} existe (ou é \pm\infty), então \lim_{x\to c}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to c}\frac{g'(x)}{h'(x)}.Aqui g é o numerador e h o denominador.
  • No nosso caso, g(x)=\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,d t e h(x)=x. Já vimos que g(0)=0 e h(0)=0. Pelo TFC parte 1, g é diferenciável e g'(x)=e^{x^{2}}. A derivada de h é h'(x)=1. Ambas as derivadas existem numa vizinhança de 0 e h'(x) não é zero na vizinhança (é constante igual a 1).
  • Portanto podemos aplicar a regra de L’Hospital e escrever \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,d t}{x}\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^{2}}}{1}.

Passo 5

Calculo o limite resultante:
  • A função x\mapsto e^{x^{2}} é contínua em 0, então o limite é simplesmente o valor em 0: \lim_{x\rightarrow 0} e^{x^{2}} = e^{0}=1.

Passo 6

Conclusão final: o limite pedido vale 1. (Você pode pensar intuitivamente que, para x pequeno, a integral \int_{0}^{x} e^{t^{2}}\,dt é aproximadamente e^{0}\cdot x = 1\cdot x, então o quociente tende a 1.)

Resposta

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