Seja o triângulo de vértices A=(4,5,-4), B=(-6,-7,0) e C=(8,5,6). As equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado A B e pelo vértice C são dadas por:
Escolha uma opção:
◯ a. \left\{\begin{aligned} x & =1+3 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =3-7 t\end{aligned}\right.
◯ b. \left\{\begin{aligned} x & =4-8 t \\\ \langle b r /\rangle y & =3-8 t \\\ z & =-1+3 t\end{aligned}\right.
◯ c. \left\{\begin{aligned} x & =-1+7 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =-2+6 t\end{aligned}\right.
◯ d. \left\{\begin{aligned} x & =1+t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+4 t \\\ z & =3-9 t\end{aligned}\right.
◯ e. \left\{\begin{aligned} x & =-1+9 t \\\ \langle b r /\rangle y & =-1+6 t \\\ z & =-2+8 t\end{aligned}\right.
◯ f. \left\{\begin{aligned} x & =6-12 t \\\ \langle b r /\rangle y & =5-12 t \\\ z & =1-t\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo:
  • A=(4,5,-4),
  • B=(-6,-7,0),
  • C=(8,5,6).
Pede-se as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice C. Ou seja:
  • primeiro preciso achar o ponto médio de AB;
  • depois usar esse ponto médio e o ponto C para escrever a reta que os une em forma paramétrica.

Passo 2

Fórmula do ponto médio: o ponto médio entre A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B) tem coordenadas
\left(\frac{x_A+x_B}{2},\;\frac{y_A+y_B}{2},\;\frac{z_A+z_B}{2}\right).
Aplicando aos dados:
x_M=\frac{4+(-6)}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
y_M=\frac{5+(-7)}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
z_M=\frac{-4+0}{2}=\frac{-4}{2}=-2.
Logo o ponto médio é M=(-1,-1,-2).

Passo 3

Direção da reta: a reta que passa por M e por C tem como vetor diretor o vetor que vai de M a C, obtido por subtração coordenada a coordenada:
\vec{v}=C-M=(8-(-1),\;5-(-1),\;6-(-2)).
Calculando:
\vec{v}=(9,\;6,\;8).

Passo 4

Equação paramétrica da reta: a reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é dada por
x=x_0+v_x t,\qquad y=y_0+v_y t,\qquad z=z_0+v_z t,
onde t é o parâmetro real (cada valor de t dá um ponto da reta; t=0 P_0).
Aqui P_0=M=(-1,-1,-2) e \vec{v}=(9,6,8). Portanto as equações paramétricas são
x=-1+9t,\qquad y=-1+6t,\qquad z=-2+8t.

Passo 5

Agora encontro a alternativa que corresponde a essas equações. A alternativa que apresenta
x=-1+9t,\quad y=-1+6t,\quad z=-2+8t
é a alternativa (e).

Resposta

(e)

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