Questão 1: Calcule os limites abaixo, se possível. (Nesta questão escolha dois dos três itens para resolver).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a variável
tende a
; a expressão é uma razão entre uma soma no numerador e uma função trigonométrica no denominador. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar dois limites fundamentais (que você deve decorar e entender bem para a prova):
e, usando
,
Explicação rápida e intuitiva: para pequenos
a função
comporta-se aproximadamente como
(mesma ordem), e
, então
também se comporta como
. Formalmente pode-se justificar por teorema do confronto (squeeze) ou desenvolvimentos em série — o importante é que ambos os quocientes tendem a
.
Passo 3
Usaremos estas propriedades e as regras de limite (que permitem separar somas e quocientes quando os limites existem). Primeiro, divido numerador e denominador por
para expor os quocientes padrão:
Passo 4
Agora escrevo
e
de forma que apareçam os quocientes padrões
e
. Observa:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 5
Aplicamos agora os limites conhecidos. Quando
temos
e
. Como multiplicação e divisão por constantes preservam limites, podemos passar ao limite da expressão inteira:
Passo 6
Faço a conta final:
Portanto o limite existe e vale
.