Questão 1: Calcule os limites abaixo, se possível. (Nesta questão escolha dois dos três itens para resolver).
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\operatorname{sen}(3 x)}{\tan (2 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x+\operatorname{sen}(3x)}{\tan(2x)}.
Informações dadas: a variável x tende a 0; a expressão é uma razão entre uma soma no numerador e uma função trigonométrica no denominador. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar dois limites fundamentais (que você deve decorar e entender bem para a prova):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1
e, usando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t},
\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1.
Explicação rápida e intuitiva: para pequenos t a função \sin t comporta-se aproximadamente como t (mesma ordem), e \cos t\to 1, então \tan t também se comporta como t. Formalmente pode-se justificar por teorema do confronto (squeeze) ou desenvolvimentos em série — o importante é que ambos os quocientes tendem a 1.

Passo 3

Usaremos estas propriedades e as regras de limite (que permitem separar somas e quocientes quando os limites existem). Primeiro, divido numerador e denominador por x para expor os quocientes padrão:
\frac{x+\sin(3x)}{\tan(2x)}=\frac{1+\dfrac{\sin(3x)}{x}}{\dfrac{\tan(2x)}{x}}.

Passo 4

Agora escrevo \dfrac{\sin(3x)}{x} e \dfrac{\tan(2x)}{x} de forma que apareçam os quocientes padrões \dfrac{\sin u}{u} e \dfrac{\tan v}{v}. Observa:
\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}, \qquad \frac{\tan(2x)}{x}=2\cdot\frac{\tan(2x)}{2x}.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{x+\sin(3x)}{\tan(2x)}=\frac{1+3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}}{2\cdot\frac{\tan(2x)}{2x}}.

Passo 5

Aplicamos agora os limites conhecidos. Quando x\to 0 temos \dfrac{\sin(3x)}{3x}\to 1 e \dfrac{\tan(2x)}{2x}\to 1. Como multiplicação e divisão por constantes preservam limites, podemos passar ao limite da expressão inteira:
\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin(3x)}{\tan(2x)}=\frac{1+3\cdot 1}{2\cdot 1}=\frac{1+3}{2}.

Passo 6

Faço a conta final:
\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2.
Portanto o limite existe e vale 2.

Resposta

2

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