Questão 2
Seja
uma função dada por
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
em cada ponto crítico de
.
(a) Determine todos os pontos críticos de
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
(a) Determinar todos os pontos críticos de .
(b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de em cada ponto crítico de
.
(a) Determinar todos os pontos críticos de
(b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de
; não há termos com
na função além da dependência nula, e portanto o valor de
só muda quando
muda. Não há figura nem tabela: toda a informação necessária está na expressão algébrica dada.
Passo 2
O que é um ponto crítico (aula rapidinha e prática)?
Um ponto é um ponto crítico de
quando o gradiente de
em
é o vetor nulo ou quando as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem para todo
, então basta resolver
Um ponto
ou seja resolver simultaneamente as equações
e
.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
. Vou explicar a técnica: para
tratamos
como constante e derivamos em relação a
; para
tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Para
, temos
como função de
, cuja derivada é
. O termo
é constante e some. Portanto
Para
, observe que
não depende de
(não há
na expressão), então a derivada em relação a
é zero:
Expliquei: sempre que uma variável não aparece numa função, a derivada parcial por essa variável é zero — é como derivar uma constante.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema
e
.
Da segunda equação temos já
satisfeita para todo
. Da primeira:
Portanto todos os pontos que satisfazem as duas equações são os pontos com
e qualquer
. Isso nos dá a família de pontos críticos
Comentário didático: geometricamente, como
só varia com
e tem um quadrado mínimo em
, o mínimo ocorre ao longo da reta vertical
inteira — por isso toda essa reta no plano
é formada por pontos críticos.
Passo 5
Vamos agora achar a equação do plano tangente ao gráfico de
em um ponto crítico genérico. Primeiro, recapitulação didática: o gráfico de
é a superfície no espaço
dada por
. A equação do plano tangente à superfície em
, com
, é dada por
Explico: esse é o plano que aproxima a superfície na vizinhança do ponto, usando a derivada direcional em
e em
.
Passo 6
Tomemos um ponto crítico genérico
com
(qualquer
). Calculamos
. Como
, temos
.
Já calculamos as derivadas parciais gerais:
e
.
Avaliando essas derivadas no ponto dá
Avaliando essas derivadas no ponto
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Logo
Ou seja, o plano tangente é o plano horizontal
. Isso vale para qualquer ponto crítico
: todos têm o mesmo plano tangente
.
Observação didática: como o gradiente no ponto crítico é nulo, o plano tangente fica sem termos em
e
— fica plano horizontal. Geometricamente, a superfície tem uma “rampa” nula naquele ponto na direção dos eixos, resultando em plano horizontal de valor
.
Passo 7
Breve comentário sobre a natureza do ponto crítico (opcional mas útil para prova): o Hessiano de
é a matriz das segundas derivadas.
Calculamos:
Calculamos:
Assim o Hessiano é a matriz
que é semidefinida positiva (não negativa). Isso confirma que cada ponto da reta
é um mínimo em relação à direção
(mínimo global em
), mas como a função não varia com
, não há estrita positividade; por isso são mínimos ao longo de uma “vasta” reta — mínimos degenerados. Não era pedido, mas essa explicação ajuda a compreender a forma da superfície.]
Resposta
(a)
(b)
(b)