Questão 2

Seja g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função dada por g(x, y)=(x-5)^{2}+3.
(a) Determine todos os pontos críticos de g.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g em cada ponto crítico de g.

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por g(x,y)=(x-5)^2+3 e pede duas coisas:
(a) Determinar todos os pontos críticos de g.
(b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de g em cada ponto crítico de g.
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de g(x,y); não há termos com y na função além da dependência nula, e portanto o valor de g só muda quando x muda. Não há figura nem tabela: toda a informação necessária está na expressão algébrica dada.

Passo 2

O que é um ponto crítico (aula rapidinha e prática)?
Um ponto (x_0,y_0) é um ponto crítico de g quando o gradiente de g em (x_0,y_0) é o vetor nulo ou quando as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas existem para todo (x,y), então basta resolver
\nabla g(x,y)=\mathbf{0},
ou seja resolver simultaneamente as equações \dfrac{\partial g}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial g}{\partial y}=0.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de g. Vou explicar a técnica: para \dfrac{\partial g}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x; para \dfrac{\partial g}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
Para \dfrac{\partial g}{\partial x}, temos (x-5)^2 como função de x, cuja derivada é 2(x-5). O termo +3 é constante e some. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2(x-5).
Para \dfrac{\partial g}{\partial y}, observe que g(x,y) não depende de y (não há y na expressão), então a derivada em relação a y é zero:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0.
Expliquei: sempre que uma variável não aparece numa função, a derivada parcial por essa variável é zero — é como derivar uma constante.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema \dfrac{\partial g}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial g}{\partial y}=0.
Da segunda equação temos já \dfrac{\partial g}{\partial y}=0 satisfeita para todo (x,y). Da primeira:
2(x-5)=0 \implies x-5=0 \implies x=5.
Portanto todos os pontos que satisfazem as duas equações são os pontos com x=5 e qualquer y. Isso nos dá a família de pontos críticos
\{(5,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.
Comentário didático: geometricamente, como g só varia com x e tem um quadrado mínimo em x=5, o mínimo ocorre ao longo da reta vertical x=5 inteira — por isso toda essa reta no plano (x,y) é formada por pontos críticos.

Passo 5

Vamos agora achar a equação do plano tangente ao gráfico de g em um ponto crítico genérico. Primeiro, recapitulação didática: o gráfico de g é a superfície no espaço (x,y,z) dada por z=g(x,y). A equação do plano tangente à superfície em (x_0,y_0,z_0), com z_0=g(x_0,y_0), é dada por
z = z_0 + \frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0) + \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explico: esse é o plano que aproxima a superfície na vizinhança do ponto, usando a derivada direcional em x e em y.

Passo 6

Tomemos um ponto crítico genérico (x_0,y_0) com x_0=5 (qualquer y_0). Calculamos z_0=g(5,y_0). Como g(5,y_0)=(5-5)^2+3=0+3=3, temos z_0=3.
Já calculamos as derivadas parciais gerais:
\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y)=2(x-5) e \dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0.
Avaliando essas derivadas no ponto (5,y_0)
\frac{\partial g}{\partial x}(5,y_0)=2(5-5)=0,
\frac{\partial g}{\partial y}(5,y_0)=0.
Substituindo na fórmula do plano tangente:
z = z_0 + 0\cdot(x-5) + 0\cdot(y-y_0).
Logo
z = z_0 = 3.
Ou seja, o plano tangente é o plano horizontal z=3. Isso vale para qualquer ponto crítico (5,y_0): todos têm o mesmo plano tangente z=3.
Observação didática: como o gradiente no ponto crítico é nulo, o plano tangente fica sem termos em (x-x_0) e (y-y_0) — fica plano horizontal. Geometricamente, a superfície tem uma “rampa” nula naquele ponto na direção dos eixos, resultando em plano horizontal de valor z=3.

Passo 7

Breve comentário sobre a natureza do ponto crítico (opcional mas útil para prova): o Hessiano de g é a matriz das segundas derivadas.
Calculamos:
\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=2,\qquad \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}=0.
Assim o Hessiano é a matriz
\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é semidefinida positiva (não negativa). Isso confirma que cada ponto da reta x=5 é um mínimo em relação à direção x (mínimo global em x), mas como a função não varia com y, não há estrita positividade; por isso são mínimos ao longo de uma “vasta” reta — mínimos degenerados. Não era pedido, mas essa explicação ajuda a compreender a forma da superfície.]

Resposta

(a) \{(5,y)\mid y\in\mathbb{R}\}
(b) z=3

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