Questão 4. Seja p um número primo. Considere o conjunto
\mathbb{Z}[\sqrt{p}]=\{a+b \sqrt{p}: a, b \in \mathbb{Z}\} .
Com as operações
[a+b \sqrt{p}]+[c+d \sqrt{p}]=(a+c)+(b+d) \sqrt{p} \text { e }[a+b \sqrt{p}] \cdot[c+d \sqrt{p}]=(a c+p d b)+(b c+a d) \sqrt{p}
\mathbb{Z}[\sqrt{p}] é um anel. Mostre que \mathbb{Z}[\sqrt{p}] é domínio e exiba o elemento neutro aditivo e a identidade desse anel.

Passo 1

O enunciado define o anel
\mathbb{Z}[\sqrt{p}] = \{\,a + b\sqrt{p} : a,b\in\mathbb{Z}\}
com as operações usuais de soma e produto em extensões quadráticas. Precisamos mostrar que esse anel é um domínio de integridade (anel comutativo com unidade e sem divisores de zero) e identificar o neutro aditivo e a identidade multiplicativa.

Passo 2

Em todo anel, o neutro aditivo é o elemento 0 que satisfaz x+0=x. Aqui basta ver que
(a + b\sqrt{p}) + (0 + 0\sqrt{p}) = (a+0) + (b+0)\sqrt{p} = a + b\sqrt{p}.
Logo o neutro aditivo é
0_{\text{ad}} = 0 + 0\sqrt{p}.
De modo análogo, a identidade multiplicativa 1 deve satisfazer 1\cdot x = x. Verifica-se
(1 + 0\sqrt{p})\,(a + b\sqrt{p}) = (1\cdot a + p\cdot0\cdot b) + (1\cdot b + 0\cdot a)\sqrt{p} = a + b\sqrt{p},
portanto
1_{\text{mult}} = 1 + 0\sqrt{p}.

Passo 3

Para provar que não há divisores de zero, definimos a norma
N(a + b\sqrt{p}) = a^2 \;-\; p\,b^2 \in \mathbb{Z}.
Basta verificar que a norma é multiplicativa: se x = a + b\sqrt{p} e y = c + d\sqrt{p}, então
xy = (a c + p\,b d) \;+\;(b c + a d)\sqrt{p},
e um cálculo direto mostra
N(xy) = (a c + p\,b d)^2 \;-\; p\,(b c + a d)^2 = (a^2 - p b^2)\,(c^2 - p d^2) = N(x)\,N(y).

Passo 4

Se x y = 0, então
N(xy) = N(x)\,N(y) = 0
em \mathbb{Z}. Logo N(x)=0 ou N(y)=0. Se N(a+b\sqrt{p})=0, então
a^2 = p\,b^2.
Como p é primo, p\mid a^2 implica p\mid a, digamos a=p k. Substituindo obtém-se
p^2 k^2 = p\,b^2 \quad\Rightarrow\quad p k^2 = b^2,
de novo p\mid b, e assim por diante, levando a a=b=0. Portanto o único elemento de norma zero é o zero do anel. Concluímos que não há divisores de zero não triviais.

Resposta

O neutro aditivo é 0_{\text{ad}} = 0 + 0\sqrt{p} e a identidade multiplicativa é 1_{\text{mult}} = 1 + 0\sqrt{p}. Além disso, por meio da norma multiplicativa e da primitividade de p, \mathbb{Z}[\sqrt{p}] não possui divisores de zero, sendo assim um domínio de integridade.

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