Questão 1: Seja r(t)=(-3 \operatorname{sen} t, 2 t, 3 \cos t). Determine:
a) r^{\prime}(t);
b) o comprimento da curva de (0,0,3) a (-3, \pi, 0);
c) curvatura em (0,0,3).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=(-3\sin t,\;2t,\;3\cos t)
e pede três coisas:
  • (a) r'(t);
  • (b) o comprimento da curva do ponto (0,0,3) até o ponto (-3,\pi,0);
  • (c) a curvatura em (0,0,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A coordenada x(t)=-3\sin t.
  • A coordenada y(t)=2t.
  • A coordenada z(t)=3\cos t.
  • Os pontos dados são (0,0,3) e (-3,\pi,0). A parametrização relaciona cada ponto a valores de t (isto será usado para obter os limites de integração e o valor de t onde calcular a curvatura).

Passo 2

Cálculo de r'(t) (derivada componente a componente).
Regra usada: a derivada componente a componente de uma curva vetorial r(t)=(x(t),y(t),z(t)) é
r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Derivando cada componente:
  • x(t)=-3\sin t \Rightarrow x'(t)=-3\cos t (derivada de \sin t é \cos t, multiplicar por constante).
  • y(t)=2t \Rightarrow y'(t)=2.
  • z(t)=3\cos t \Rightarrow z'(t)=-3\sin t (derivada de \cos t é -\sin t).
Portanto,
r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t).

Passo 3

Determinar os parâmetros t correspondentes aos pontos dados (precisamos disso para o comprimento e para a curvatura em (0,0,3)).
Para (0,0,3):
  • Da segunda componente y=2t=0 segue t=0.
  • Verificação: x(0)=-3\sin0=0 e z(0)=3\cos0=3. Portanto o ponto corresponde a t=0.
Para (-3,\pi,0):
  • Da segunda componente y=2t=\pi segue t=\dfrac{\pi}{2}.
  • Verificação: x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3 e z\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Portanto o ponto corresponde a t=\dfrac{\pi}{2}.
Conclusão: para o comprimento integraremos de t=0 até t=\dfrac{\pi}{2}. Para a curvatura no ponto (0,0,3) avaliaremos no t=0.

Passo 4

Cálculo do comprimento da curva entre os parâmetros t=a e t=b.
Fórmula usada: o comprimento de arco de uma curva parametrizada r(t) entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\|r'(t)\|\,dt,
onde \|r'(t)\| é o módulo (norma) do vetor velocidade r'(t).
Já temos r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t). Vamos calcular \|r'(t)\|:
\|r'(t)\|=\sqrt{(-3\cos t)^2+2^2+(-3\sin t)^2}.
Desenvolvendo:
\|r'(t)\|=\sqrt{9\cos^2 t+4+9\sin^2 t}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
\|r'(t)\|=\sqrt{9(\cos^2 t+\sin^2 t)+4}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Observação didática: isso mostra que a velocidade é constante para essa curva, o que facilita muito o cálculo do comprimento.
Agora aplicamos a fórmula do comprimento com a=0 e b=\dfrac{\pi}{2}:
L=\int_{0}^{\pi/2}\|r'(t)\|\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{13}\,dt=\sqrt{13}\cdot\left[t\right]_{0}^{\pi/2}=\sqrt{13}\cdot\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Introdução à curvatura e estratégia para calcular em t=0.
Definição que vamos usar: a curvatura \kappa(t) de uma curva parametrizada qualquer por t é dada por
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3},
onde r''(t) é a derivada segunda (aceleração) e \times é o produto vetorial. Intuição rápida: \kappa mede o quanto a direção da velocidade muda por unidade de comprimento; fórmula acima é prática para parametrizações quaisquer.
Primeiro calculamos r''(t) diferenciando r'(t):
r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t)\Rightarrow r''(t)=(3\sin t,\;0,\;-3\cos t).

Passo 6

Cálculo explícito do produto vetorial r'(t)\times r''(t).
Montamos o determinante para o produto vetorial (com as componentes de r' e r''):
r'(t)\times r''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3\cos t & 2 & -3\sin t \\\\ 3\sin t & 0 & -3\cos t \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
Componente \mathbf{i}:
\mathbf{i}\big(2\cdot(-3\cos t)-(-3\sin t)\cdot 0\big)=\mathbf{i}(-6\cos t).
Componente \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo ao desenvolver):
-\mathbf{j}\big((-3\cos t)\cdot(-3\cos t)-(-3\sin t)\cdot(3\sin t)\big) =-\mathbf{j}\big(9\cos^2 t-(-9\sin^2 t)\big).
Como 9\cos^2 t-(-9\sin^2 t)=9(\cos^2 t+\sin^2 t)=9, fica -9\mathbf{j}.
Componente \mathbf{k}:
\mathbf{k}\big((-3\cos t)\cdot 0-2\cdot(3\sin t)\big)=\mathbf{k}(-6\sin t).
Portanto o produto vetorial é
r'(t)\times r''(t)=(-6\cos t,\;-9,\;-6\sin t).

Passo 7

Cálculo da norma do produto vetorial e da curvatura.
Calculemos o módulo de r'(t)\times r''(t):
\|r'(t)\times r''(t)\|=\sqrt{(-6\cos t)^2+(-9)^2+(-6\sin t)^2}.
Desenvolvendo:
\|r'(t)\times r''(t)\|=\sqrt{36\cos^2 t+81+36\sin^2 t} =\sqrt{36(\cos^2 t+\sin^2 t)+81} =\sqrt{36+81}=\sqrt{117}.
Fatorando \sqrt{117}=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}.
Já tínhamos \|r'(t)\|=\sqrt{13}. Assim a curvatura é
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3} =\frac{3\sqrt{13}}{(\sqrt{13})^3} =\frac{3\sqrt{13}}{13\sqrt{13}}=\frac{3}{13}.
Observação: o resultado não depende de t (a curvatura é constante ao longo da curva), então em particular a curvatura no ponto (0,0,3) (que corresponde a t=0) é
\kappa(0)=\frac{3}{13}.

Resposta

(a) r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t)
(b) \dfrac{\pi\sqrt{13}}{2}
(c) \dfrac{3}{13}

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