Questão 1: Seja r(t)=(-3 \operatorname{sen} t, 2 t, 3 \cos t). Determine:
a) r^{\prime}(t);
b) o comprimento da curva de (0,0,3) a (-3, \pi, 0);
c) curvatura em (0,0,3).
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=(-3\sin t,\;2t,\;3\cos t)
e pede três coisas:
(a) r'(t);
(b) o comprimento da curva do ponto (0,0,3) até o ponto (-3,\pi,0);
(c) a curvatura em (0,0,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A coordenada x(t)=-3\sin t.
A coordenada y(t)=2t.
A coordenada z(t)=3\cos t.
Os pontos dados são (0,0,3) e (-3,\pi,0). A parametrização relaciona cada ponto a valores de t (isto será usado para obter os limites de integração e o valor de t onde calcular a curvatura).
Passo 2
Cálculo de r'(t) (derivada componente a componente).
Regra usada: a derivada componente a componente de uma curva vetorial r(t)=(x(t),y(t),z(t)) é
r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Derivando cada componente:
x(t)=-3\sin t \Rightarrow x'(t)=-3\cos t (derivada de \sin t é \cos t, multiplicar por constante).
y(t)=2t \Rightarrow y'(t)=2.
z(t)=3\cos t \Rightarrow z'(t)=-3\sin t (derivada de \cos t é -\sin t).
Portanto,
r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t).
Passo 3
Determinar os parâmetros t correspondentes aos pontos dados (precisamos disso para o comprimento e para a curvatura em (0,0,3)).
Para (0,0,3):
Da segunda componente y=2t=0 segue t=0.
Verificação: x(0)=-3\sin0=0 e z(0)=3\cos0=3. Portanto o ponto corresponde a t=0.
Para (-3,\pi,0):
Da segunda componente y=2t=\pi segue t=\dfrac{\pi}{2}.
Verificação: x\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-3 e z\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Portanto o ponto corresponde a t=\dfrac{\pi}{2}.
Conclusão: para o comprimento integraremos de t=0 até t=\dfrac{\pi}{2}. Para a curvatura no ponto (0,0,3) avaliaremos no t=0.
Passo 4
Cálculo do comprimento da curva entre os parâmetros t=a e t=b.
Fórmula usada: o comprimento de arco de uma curva parametrizada r(t) entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\|r'(t)\|\,dt,
onde \|r'(t)\| é o módulo (norma) do vetor velocidade r'(t).
Já temos r'(t)=(-3\cos t,\;2,\;-3\sin t). Vamos calcular \|r'(t)\|:
\|r'(t)\|=\sqrt{(-3\cos t)^2+2^2+(-3\sin t)^2}.
Desenvolvendo:
\|r'(t)\|=\sqrt{9\cos^2 t+4+9\sin^2 t}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
onde r''(t) é a derivada segunda (aceleração) e \times é o produto vetorial. Intuição rápida: \kappa mede o quanto a direção da velocidade muda por unidade de comprimento; fórmula acima é prática para parametrizações quaisquer.
Observação: o resultado não depende de t (a curvatura é constante ao longo da curva), então em particular a curvatura no ponto (0,0,3) (que corresponde a t=0) é