Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a,b] e compare os resultados
\int 1 / \sqrt{x} dx \quad[a, b]=[2,14]

Passo 1

O enunciado pede que se aproxime a integral
\int_{2}^{14} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
usando as regras numéricas dos trapézios e de Simpson, com 4 e com 6 divisões do intervalo [2,14], e que se compare os resultados.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • O intervalo é [a,b]=[2,14].
  • Devem ser aplicadas as regras:
    • Regra dos trapézios com n=4 e n=6.
    • Regra de Simpson com n=4 e n=6 (nota: Simpson exige n par, o que é satisfeito).
  • O número de subintervalos n determina o passo h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{12}{n}.

Passo 2

Breve explicação e fórmulas (o que é cada coisa e por que usar).
Regra dos trapézios:
  • Ideia: aproximar a curva por segmentos de reta em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios.
  • Fórmula para n subintervalos de mesmo tamanho h:
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right),
onde x_0=a, x_n=b e x_i=a+i h.
  • Significado das variáveis:
    • h é a largura de cada subintervalo.
    • f(x_i) são os valores da função nos nós.
Regra de Simpson (regra composta de Simpson):
  • Ideia: aproximar a função por parabolas que passam por cada três pontos consecutivos; dá geralmente aproximações muito melhores quando f é suave.
  • Fórmula para n subintervalos (com n par):
S_n = \frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_n) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\right).í
  • Mesmas interpretações para h e x_i.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo para n=4 e n=6. Vou calcular os nós, os valores f(x_i), aplicar as somas e obter os resultados numéricos.

Passo 3

Cálculos preliminares e valor exato para referência.
O passo geral é h=\dfrac{12}{n}.
Também é útil o valor exato da integral para comparar (a integral é elementar):
\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C,
portanto o valor exato é
I_{\text{exato}} = 2\big(\sqrt{14}-\sqrt{2}\big).
Calculando numericamente:
\sqrt{2}\approx 1{,}41421356,\qquad \sqrt{14}\approx 3{,}74165739,
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I_{\text{exato}} = 2(3{,}74165739-1{,}41421356)=2(2{,}32744383)\approx 4{,}65488765.

Passo 4

Aplicação: trapézio e Simpson com n=4.
Calcular h e os nós:
h=\frac{12}{4}=3.
Nós:
x_0=2,\\ x_1=5,\\ x_2=8,\\ x_3=11,\\ x_4=14.
Valores da função f(x)=1/\sqrt{x} (arredondados para 8 casas decimais):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}70710678,\\\ f(x_1)&=f(5)=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0{,}44721360,\\\ f(x_2)&=f(8)=\frac{1}{\sqrt{8}}\approx 0{,}35355339,\\\ f(x_3)&=f(11)=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0{,}30151134,\\\ f(x_4)&=f(14)=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx 0{,}26726124. \end{aligned}
Regra dos trapézios ( n=4):
T_4 = 3\left(\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2} + f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\right).
Calcular as somas:
\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}=\frac{0{,}70710678+0{,}26726124}{2}\approx 0{,}48718301,
f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\approx 0{,}44721360+0{,}35355339+0{,}30151134\approx 1{,}10227833.
Portanto
T_4=3(0{,}48718301+1{,}10227833)=3(1{,}58946134)\approx 4{,}76838399\approx 4{,}768384.
Regra de Simpson ( n=4):
S_4 = \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_4) + 4(f(x_1)+f(x_3)) + 2(f(x_2))\Big),
com h/3=3/3=1.
Calcular:
f(x_1)+f(x_3)\approx 0{,}44721360+0{,}30151134=0{,}74872494,
4(f(x_1)+f(x_3))\approx 2{,}99489976,
2 f(x_2)\approx 0{,}70710678.
Somando:
f(x_0)+f(x_4)+4(\cdots)+2(\cdots)\approx 0{,}70710678+0{,}26726124+2{,}99489976+0{,}70710678\approx 4{,}67637456.
Como h/3=1, obtemos
S_4\approx 4{,}67637456\approx 4{,}676375.
Erros relativos/absolutos em relação ao exato:
\begin{aligned} \text{Erro }T_4 &= |T_4-I_{\text{exato}}|\approx |4{,}768384-4{,}65488765|\approx 0{,}11349635,\\\ \text{Erro }S_4 &= |S_4-I_{\text{exato}}|\approx |4{,}676375-4{,}65488765|\approx 0{,}02148735. \end{aligned}

Passo 5

Aplicação: trapézio e Simpson com n=6.
Calcular h e os nós:
h=\frac{12}{6}=2.
Nós:
x_0=2,\\ x_1=4,\\ x_2=6,\\ x_3=8,\\ x_4=10,\\ x_5=12,\\ x_6=14.
Valores f(x)=1/\sqrt{x} (arredondados):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(2)\approx 0{,}70710678,\\\ f(x_1)&=f(4)=\frac{1}{2}=0{,}5,\\\ f(x_2)&=f(6)=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0{,}40824829,\\\ f(x_3)&=f(8)\approx 0{,}35355339,\\\ f(x_4)&=f(10)\approx 0{,}31622777,\\\ f(x_5)&=f(12)\approx 0{,}28867513,\\\ f(x_6)&=f(14)\approx 0{,}26726124. \end{aligned}
Regra dos trapézios ( n=6):
T_6 = 2\left(\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2} + \sum_{i=1}^{5} f(x_i)\right).
Calcular as somas:
\frac{f(x_0)+f(x_6)}{2}=\frac{0{,}70710678+0{,}26726124}{2}\approx 0{,}48718301,
\sum_{i=1}^{5} f(x_i)\approx 0{,}5+0{,}40824829+0{,}35355339+0{,}31622777+0{,}28867513\approx 1{,}86670458.
Portanto
T_6=2(0{,}48718301+1{,}86670458)=2(2{,}35388759)\approx 4{,}70777518\approx 4{,}707775.
Regra de Simpson ( n=6):
S_6 = \frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_6) + 4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{5} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{4} f(x_i)\Big),í
com h/3=2/3.
Somatórios:
\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{5} f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\approx 0{,}5+0{,}35355339+0{,}28867513\approx 1{,}14222852,í
\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{4} f(x_i)=f(x_2)+f(x_4)\approx 0{,}40824829+0{,}31622777\approx 0{,}72447606.
Agora calcular o interior:
f(x_0)+f(x_6)\approx 0{,}974367, \quad 4\cdot 1{,}14222852\approx 4{,}56891408,\quad 2\cdot 0{,}72447606\approx 1{,}44895212.
Soma total dentro do parêntese:
0{,}974367 + 4{,}56891408 + 1{,}44895212 \approx 6{,}99223320.
Multiplicando por h/3=2/3:
S_6 = \frac{2}{3}\cdot 6{,}99223320 \approx 4{,}66148880\approx 4{,}661489.
Erros:
\begin{aligned} \text{Erro }T_6 &= |T_6-I_{\text{exato}}|\approx |4{,}707775-4{,}65488765|\approx 0{,}05288735,\\\ \text{Erro }S_6 &= |S_6-I_{\text{exato}}|\approx |4{,}661489-4{,}65488765|\approx 0{,}00660135. \end{aligned}

Passo 6

Comparação e interpretação (explicando de forma simples e amigável).
  • Observação geral: a integral aproximada por Simpson é melhor que a do trapézio nos mesmos n aqui, porque Simpson usa aproximações quadráticas (parabolas) e nossa função 1/\sqrt{x} é suave; assim Simpson costuma dar maior precisão para um mesmo número de subintervalos.
  • Comparando n=4 versus n=6:
    • Para a regra dos trapézios, aumentar n de 4 para 6 reduziu o erro de cerca de 0{,}1135 para 0{,}0529 (melhora, mas ainda não tão precisa).
    • Para Simpson, aumentar n de 4 para 6 reduziu o erro de cerca de 0{,}0215 para 0{,}0066 (mais preciso e converge mais rápido).
  • Conclusão prática: se na prova o tempo permitir, Simpson com n pequeno costuma ser uma escolha eficaz; trapézio é mais simples mas menos preciso.

Resposta

Trapézio ( n=4): T_4 \approx 4{,}768384
Simpson ( n=4): S_4 \approx 4{,}676375
Trapézio ( n=6): T_6 \approx 4{,}707775
Simpson ( n=6): S_6 \approx 4{,}661489

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