Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a,b] e compare os resultados \int 1 / \sqrt{x} dx \quad[a, b]=[2,14]
Passo 1
O enunciado pede que se aproxime a integral
\int_{2}^{14} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
usando as regras numéricas dos trapézios e de Simpson, com 4 e com 6 divisões do intervalo [2,14], e que se compare os resultados.
Informações dadas:
A função a integrar é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
O intervalo é [a,b]=[2,14].
Devem ser aplicadas as regras:
Regra dos trapézios com n=4 e n=6.
Regra de Simpson com n=4 e n=6 (nota: Simpson exige n par, o que é satisfeito).
O número de subintervalos n determina o passo h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{12}{n}.
Passo 2
Breve explicação e fórmulas (o que é cada coisa e por que usar).
Regra dos trapézios:
Ideia: aproximar a curva por segmentos de reta em cada subintervalo e somar as áreas dos trapézios.
Comparação e interpretação (explicando de forma simples e amigável).
Observação geral: a integral aproximada por Simpson é melhor que a do trapézio nos mesmos n aqui, porque Simpson usa aproximações quadráticas (parabolas) e nossa função 1/\sqrt{x} é suave; assim Simpson costuma dar maior precisão para um mesmo número de subintervalos.
Comparando n=4 versus n=6:
Para a regra dos trapézios, aumentar n de 4 para 6 reduziu o erro de cerca de 0{,}1135 para 0{,}0529 (melhora, mas ainda não tão precisa).
Para Simpson, aumentar n de 4 para 6 reduziu o erro de cerca de 0{,}0215 para 0{,}0066 (mais preciso e converge mais rápido).
Conclusão prática: se na prova o tempo permitir, Simpson com n pequeno costuma ser uma escolha eficaz; trapézio é mais simples mas menos preciso.