Resolva pelo método de Gauss com pivoteamento parcial
\begin{array}{r} x_{1}+4 x_{2}+52 x_{3}=57 \\ 27 x_{1}+110 x_{2}-3 x_{3}=134 \\ 22 x_{1}+2 x_{2}+14 x_{3}=38 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} usando o método de Gauss com pivoteamento parcial. O sistema dado é:
\begin{array}{r} x_{1}+4 x_{2}+52 x_{3}=57 \\\\ 27 x_{1}+110 x_{2}-3 x_{3}=134 \\\\ 22 x_{1}+2 x_{2}+14 x_{3}=38 \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três equações lineares para três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • O método exigido é eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada passo escolher o pivô com maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas não eliminadas).

Passo 2

Breve explicação didática do método (o que vou aplicar passo a passo):
  • Representação: monto a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes).
  • Objetivo: transformar essa matriz numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) usando operações elementares sobre linhas, para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
  • Pivoteamento parcial: em cada coluna k (no estágio k) escolhe-se como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as entradas da coluna k das linhas k,k+1,\dots. Se esse pivô não estiver na linha k, troca-se linhas. Isso evita divisões por números muito pequenos e melhora a estabilidade numérica.
  • Multiplicador: para zerar a entrada da linha i>k na coluna k, usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
onde a_{ik} é a entrada atual na linha i, coluna k e a_{kk} é o pivô. A operação é R_i \leftarrow R_i - m_{ik} R_k.
Vou aplicar isso passo a passo no sistema.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (cada linha é [\;a_{1}\; a_{2}\; a_{3}\;|\;b\;]):
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 52 & | & 57\\[4pt] 27 & 110 & -3 & | & 134\\[4pt] 22 & 2 & 14 & | & 38 \end{pmatrix}]

Passo 4

Pivoteamento na coluna 1 (primeiro passo): comparo os valores absolutos na coluna 1 das linhas 1,2,3:
|1|,\\ |27|,\\ |22|.
O maior é |27| (linha 2). Pelo pivoteamento parcial, troco a linha 1 com a linha 2 para colocar o maior pivô na posição a_{11}. Após a troca:
\begin{pmatrix} 27 & 110 & -3 & | & 134\\[4pt] 1 & 4 & 52 & | & 57\\[4pt] 22 & 2 & 14 & | & 38 \end{pmatrix}]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=27.
  • Multiplicador para zerar a entrada da nova linha 2:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{27}.
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}. Cálculos entrada a entrada:
\begin{aligned} \text{nova }a_{22} &= 4 - \frac{1}{27}\cdot 110 = 4 - \frac{110}{27} = -\frac{2}{27},\\[4pt] \text{nova }a_{23} &= 52 - \frac{1}{27}\cdot(-3) = 52 + \frac{3}{27} = \frac{1407}{27},\\[4pt] \text{novo }b_{2} &= 57 - \frac{1}{27}\cdot 134 = 57 - \frac{134}{27} = \frac{1405}{27}. \end{aligned}
Assim a linha 2 fica
\left[0,\; -\frac{2}{27},\; \frac{1407}{27}\\ \bigg|\\ \frac{1405}{27}\right].
  • Multiplicador para zerar a entrada da linha 3:
m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{22}{27}.
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}. Cálculos:
\begin{aligned} \text{nova }a_{32} &= 2 - \frac{22}{27}\cdot110 = 2 - \frac{2420}{27} = -\frac{2366}{27},\\[4pt] \text{nova }a_{33} &= 14 - \frac{22}{27}\cdot(-3) = 14 + \frac{66}{27} = \frac{444}{27},\\[4pt] \text{novo }b_{3} &= 38 - \frac{22}{27}\cdot134 = 38 - \frac{2948}{27} = -\frac{1922}{27}. \end{aligned}
Assim a linha 3 fica
\left[0,\; -\frac{2366}{27},\; \frac{444}{27}\\ \bigg|\\\ -\frac{1922}{27}\right].
Depois dessas operações, a matriz é
\begin{pmatrix} 27 & 110 & -3 & | & 134\\[4pt] 0 & -\dfrac{2}{27} & \dfrac{1407}{27} & | & \dfrac{1405}{27}\\[6pt] 0 & -\dfrac{2366}{27} & \dfrac{444}{27} & | & -\dfrac{1922}{27} \end{pmatrix}]

Passo 6

Pivoteamento na coluna 2 (segundo passo): agora comparo os valores absolutos na coluna 2 das linhas 2 e 3 (linhas ainda não eliminadas):
\left|-\frac{2}{27}\right|=\frac{2}{27},\qquad \left|-\frac{2366}{27}\right|=\frac{2366}{27}.
O maior é \frac{2366}{27} (linha 3). Pelo pivoteamento parcial, troco a linha 2 com a linha 3. Após a troca:
\begin{pmatrix} 27 & 110 & -3 & | & 134\\[4pt] 0 & -\dfrac{2366}{27} & \dfrac{444}{27} & | & -\dfrac{1922}{27}\\[6pt] 0 & -\dfrac{2}{27} & \dfrac{1407}{27} & | & \dfrac{1405}{27} \end{pmatrix}
Observação prática (para facilitar contas): é comum, e totalmente válido, multiplicar uma equação por um escalar não nulo para eliminar denominadores e trabalhar com inteiros. Vou multiplicar as linhas 2 e 3 por 27 (cada linha por 27) para simplificar a aritmética. Isso equivale a multiplicar ambos os lados dessas equações por 27, mantendo o conjunto de soluções inalterado. Após multiplicar:
\begin{pmatrix} 27 & 110 & -3 & | & 134\\[4pt] 0 & -2366 & 444 & | & -1922\\[4pt] 0 & -2 & 1407 & | & 1405 \end{pmatrix}]

Passo 7

Zerar a entrada abaixo do pivô a_{22}=-2366 (na linha 3).
Multiplicador:
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-2}{-2366}=\frac{1}{1183}.
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Calculemos cada componente (tudo agora com inteiros/fração comum):
  • Para a coluna 3:
\begin{aligned} \text{nova }a_{33} &= 1407 - \frac{1}{1183}\cdot 444 = \frac{1407\cdot 1183 - 444}{1183}. \end{aligned}
Calcule 1407\cdot1183:
1407\cdot1183 = 1\,664\,481.
Então
\text{nova }a_{33} = \frac{1\,664\,481 - 444}{1183} = \frac{1\,664\,037}{1183}.
  • Para o termo independente:
\begin{aligned} \text{novo }b_{3} &= 1405 - \frac{1}{1183}\cdot(-1922) = 1405 + \frac{1922}{1183} = \frac{1405\cdot1183 + 1922}{1183}. \end{aligned}
Calcule 1405\cdot1183:
1405\cdot1183 = 1\,662\,115.
Assim
\text{novo }b_{3} = \frac{1\,662\,115 + 1922}{1183} = \frac{1\,664\,037}{1183}.
Observe que, surpreendentemente, a nova entrada na coluna 3 e o novo termo independente são iguais:
\text{nova }a_{33}=\frac{1\,664\,037}{1183},\qquad \text{novo }b_{3}=\frac{1\,664\,037}{1183}.
Portanto a linha 3 transformada representa a equação
\left[0,\;0,\;\frac{1\,664\,037}{1183}\\ \bigg|\\ \frac{1\,664\,037}{1183}\right],
ou seja
\frac{1\,664\,037}{1183}\,x_{3}=\frac{1\,664\,037}{1183}.

Passo 8

Resolver a partir da forma triangular superior (substituição regressiva).
Da linha 3 obtém-se diretamente:
\frac{1\,664\,037}{1183}\,x_{3}=\frac{1\,664\,037}{1183} \quad\Rightarrow\quad x_{3}=1.
Usando a linha 2 (antes da multiplicação por 27 era equivalente a -\dfrac{2366}{27}x_{2}+\dfrac{444}{27}x_{3}=-\dfrac{1922}{27}, mas temos a versão inteira que é equivalente):
-2366\,x_{2}+444\,x_{3}=-1922.
Substituindo x_{3}=1:
-2366\,x_{2}+444\cdot 1 = -1922 \quad\Rightarrow\quad -2366\,x_{2} = -1922-444 = -2366 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.
Finalmente uso a linha 1:
27\,x_{1}+110\,x_{2}-3\,x_{3}=134.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=1:
27\,x_{1}+110-3=134 \quad\Rightarrow\quad 27\,x_{1}+107=134 \quad\Rightarrow\quad 27\,x_{1}=27 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=1

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