O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} usando o método de Gauss com pivoteamento parcial. O sistema dado é:
Há três equações lineares para três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
O método exigido é eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada passo escolher o pivô com maior valor absoluto na coluna corrente entre as linhas não eliminadas).
Passo 2
Breve explicação didática do método (o que vou aplicar passo a passo):
Representação: monto a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes).
Objetivo: transformar essa matriz numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) usando operações elementares sobre linhas, para depois fazer substituição regressiva (back-substitution).
Pivoteamento parcial: em cada coluna k (no estágio k) escolhe-se como pivô o elemento de maior valor absoluto entre as entradas da coluna k das linhas k,k+1,\dots. Se esse pivô não estiver na linha k, troca-se linhas. Isso evita divisões por números muito pequenos e melhora a estabilidade numérica.
Multiplicador: para zerar a entrada da linha i>k na coluna k, usa-se o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
onde a_{ik} é a entrada atual na linha i, coluna k e a_{kk} é o pivô. A operação é R_i \leftarrow R_i - m_{ik} R_k.
Vou aplicar isso passo a passo no sistema.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (cada linha é [\;a_{1}\; a_{2}\; a_{3}\;|\;b\;]):
Observação prática (para facilitar contas): é comum, e totalmente válido, multiplicar uma equação por um escalar não nulo para eliminar denominadores e trabalhar com inteiros. Vou multiplicar as linhas 2 e 3 por 27 (cada linha por 27) para simplificar a aritmética. Isso equivale a multiplicar ambos os lados dessas equações por 27, mantendo o conjunto de soluções inalterado. Após multiplicar:
Usando a linha 2 (antes da multiplicação por 27 era equivalente a -\dfrac{2366}{27}x_{2}+\dfrac{444}{27}x_{3}=-\dfrac{1922}{27}, mas temos a versão inteira que é equivalente):