Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel, verifique a convergência. 20 \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}+6 \mathrm{x}_{3}=38 \mathrm{x}_{1}-20 \mathrm{x}_{2}+9 \mathrm{x}_{3}=-23
2 x_{1}-7 x_{2}-20 x_{3}=-57
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Seidel e verificar convergência. As equações dadas são:
20x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=38
x_{1}-20x_{2}+9x_{3}=-23
2x_{1}-7x_{2}-20x_{3}=-57
O que se pede:
Aplicar o método de Gauss–Seidel até convergir (mostrar iterações).
Verificar se o método converge para este sistema.
Passo 2
Explicando o método de Gauss–Seidel (passo a passo e fórmula):
A ideia é isolar cada variável em sua equação e iterar usando os valores mais recentes disponíveis (atualizar em sequência).
Para o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} escrevemos cada componente x_i em função das demais e iteramos:
x_1^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_2^{(k)},x_3^{(k)}\text{)}
x_2^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_1^{(k+1)},x_3^{(k)}\text{)}
x_3^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)}\text{)}
Essas três expressões são as fórmulas de iteração Gauss–Seidel que usaremos, atualizando em ordem x_1, depois x_2, depois x_3, sempre usando os valores mais recentes quando disponíveis.
Passo 3
Verificação de convergência (criterião prático):
Uma condição suficiente simples para garantir convergência de Gauss–Seidel é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
Linha 1: |a_{11}|=|20|=20 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|6|=8. Como 20>8, linha 1 é estritamente dominante.
Linha 2: |a_{22}|=|-20|=20 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|9|=10. Como 20>10, linha 2 é estritamente dominante.
Linha 3: |a_{33}|=|-20|=20 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|2|+|{-7}|=9. Como 20>9, linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, portanto o método de Gauss–Seidel converge para a solução única do sistema (essa condição é suficiente; daí está garantida a convergência).]
Passo 4
Escolha da iteração inicial e critério de parada:
Vou usar o chute inicial padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).
Critério de parada: controlar a norma infinita da diferença entre iterações consecutivas. Vou parar quando
Portanto o critério \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<10^{-4} foi satisfeito na iteração 8. A solução aproximada (até a tolerância escolhida) é:
Breve interpretação: as componentes convergiram rapidamente porque a matriz é estritamente diagonalmente dominante; Gauss–Seidel aproveita as atualizações imediatas e converge mais rápido que Jacobi em muitos casos.