Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss Seidel, verifique a convergência.
20 \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}+6 \mathrm{x}_{3}=38
\mathrm{x}_{1}-20 \mathrm{x}_{2}+9 \mathrm{x}_{3}=-23
2 x_{1}-7 x_{2}-20 x_{3}=-57

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss–Seidel e verificar convergência. As equações dadas são:
20x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=38
x_{1}-20x_{2}+9x_{3}=-23
2x_{1}-7x_{2}-20x_{3}=-57
O que se pede:
  • Aplicar o método de Gauss–Seidel até convergir (mostrar iterações).
  • Verificar se o método converge para este sistema.

Passo 2

Explicando o método de Gauss–Seidel (passo a passo e fórmula):
  • A ideia é isolar cada variável em sua equação e iterar usando os valores mais recentes disponíveis (atualizar em sequência).
  • Para o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} escrevemos cada componente x_i em função das demais e iteramos:
x_1^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_2^{(k)},x_3^{(k)}\text{)}ã
x_2^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_1^{(k+1)},x_3^{(k)}\text{)}ã
x_3^{(k+1)} = \text{(expressão em termos de }x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)}\text{)}ã
  • Vamos isolar cada variável nas equações dadas.
Da primeira equação:
20x_{1}=38-2x_{2}-6x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{38-2x_{2}-6x_{3}}{20}.
Da segunda:
-20x_{2}=-23-x_{1}-9x_{3}\quad\Rightarrow\quad 20x_{2}=23+x_{1}+9x_{3}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{23+x_{1}+9x_{3}}{20}.
Da terceira:
-20x_{3}=-57-2x_{1}+7x_{2}\quad\Rightarrow\quad 20x_{3}=57+2x_{1}-7x_{2}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{57+2x_{1}-7x_{2}}{20}.
Essas três expressões são as fórmulas de iteração Gauss–Seidel que usaremos, atualizando em ordem x_1, depois x_2, depois x_3, sempre usando os valores mais recentes quando disponíveis.

Passo 3

Verificação de convergência (criterião prático):
  • Uma condição suficiente simples para garantir convergência de Gauss–Seidel é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
  • A matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 20 & 2 & 6\\[4pt] 1 & -20 & 9\\[4pt] 2 & -7 & -20 \end{pmatrix}.
Calculemos para cada linha:
  • Linha 1: |a_{11}|=|20|=20 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|6|=8. Como 20>8, linha 1 é estritamente dominante.
  • Linha 2: |a_{22}|=|-20|=20 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|1|+|9|=10. Como 20>10, linha 2 é estritamente dominante.
  • Linha 3: |a_{33}|=|-20|=20 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|2|+|{-7}|=9. Como 20>9, linha 3 é estritamente dominante.
Conclusão: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, portanto o método de Gauss–Seidel converge para a solução única do sistema (essa condição é suficiente; daí está garantida a convergência).]

Passo 4

Escolha da iteração inicial e critério de parada:
  • Vou usar o chute inicial padrão \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0).
  • Critério de parada: controlar a norma infinita da diferença entre iterações consecutivas. Vou parar quando
\|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<10^{-4}.
  • Agora aplico as fórmulas de iteração obtidas no Passo 2.

Passo 5

Iteração k=0\to 1 (usando \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)):
x_{1}^{(1)}=\frac{38-2\cdot0-6\cdot0}{20}=\frac{38}{20}=1{,}900000
x_{2}^{(1)}=\frac{23+x_{1}^{(1)}+9\cdot0}{20}=\frac{23+1{,}9}{20}=\frac{24{,}9}{20}=1{,}245000
x_{3}^{(1)}=\frac{57+2x_{1}^{(1)}-7x_{2}^{(1)}}{20}=\frac{57+2(1{,}9)-7(1{,}245)}{20}=\frac{52{,}085}{20}=2{,}604250
Resultado após iteração 1:
\mathbf{x}^{(1)}=(1{,}900000,\;1{,}245000,\;2{,}604250).

Passo 6

Iteração k=1\to 2:
x_{1}^{(2)}=\frac{38-2(1{,}245)-6(2{,}60425)}{20}=\frac{19{,}8845}{20}=0{,}994225
x_{2}^{(2)}=\frac{23+x_{1}^{(2)}+9x_{3}^{(1)}}{20}=\frac{23+0{,}994225+9(2{,}60425)}{20}=\frac{47{,}432475}{20}=2{,}37162375
x_{3}^{(2)}=\frac{57+2x_{1}^{(2)}-7x_{2}^{(2)}}{20}=\frac{57+2(0{,}994225)-7(2{,}37162375)}{20}=\frac{42{,}38708375}{20}=2{,}1193541875
Resultado:
\mathbf{x}^{(2)}=(0{,}994225,\;2{,}37162375,\;2{,}1193541875).

Passo 7

Iteração k=2\to 3:
x_{1}^{(3)}=\frac{38-2(2{,}37162375)-6(2{,}1193541875)}{20}=1{,}02703136875
x_{2}^{(3)}=\frac{23+1{,}02703136875+9(2{,}1193541875)}{20}=2{,}1550609528125
x_{3}^{(3)}=\frac{57+2(1{,}02703136875)-7(2{,}1550609528125)}{20}=2{,}198431803390625
Resultado:
\mathbf{x}^{(3)}=(1{,}02703136875,\;2{,}1550609528125,\;2{,}198431803390625).

Passo 8

Iteração k=3\to 4:
x_{1}^{(4)}=\frac{38-2(2{,}1550609528125)-6(2{,}198431803390625)}{20}=1{,}0249643637015625
x_{2}^{(4)}=\frac{23+1{,}0249643637015625+9(2{,}198431803390625)}{20}=2{,}1905425297108594
x_{3}^{(4)}=\frac{57+2(1{,}0249643637015625)-7(2{,}1905425297108594)}{20}=2{,}1858065509713556
Resultado:
\mathbf{x}^{(4)}=(1{,}0249643637015625,\;2{,}1905425297108594,\;2{,}1858065509713556).

Passo 9

Iteração k=4\to 5:
x_{1}^{(5)}=\frac{38-2(2{,}1905425297108594)-6(2{,}1858065509713556)}{20}=1{,}0252037817375074
x_{2}^{(5)}=\frac{23+1{,}0252037817375074+9(2{,}1858065509713556)}{20}=2{,}1848731370239854
x_{3}^{(5)}=\frac{57+2(1{,}0252037817375074)-7(2{,}1848731370239854)}{20}=2{,}1878147802153558
Resultado:
\mathbf{x}^{(5)}=(1{,}0252037817375074,\;2{,}1848731370239854,\;2{,}1878147802153558).

Passo 10

Iteração k=5\to 6:
x_{1}^{(6)}=\frac{38-2(2{,}1848731370239854)-6(2{,}1878147802153558)}{20}=1{,}0251682522329948
x_{2}^{(6)}=\frac{23+1{,}0251682522329948+9(2{,}1878147802153558)}{20}=2{,}1857750126116497
x_{3}^{(6)}=\frac{57+2(1{,}0251682522329948)-7(2{,}1857750126116497)}{20}=2{,}187495570809222
Resultado:
\mathbf{x}^{(6)}=(1{,}0251682522329948,\;2{,}1857750126116497,\;2{,}187495570809222).

Passo 11

Iteração k=6\to 7:
x_{1}^{(7)}=\frac{38-2(2{,}1857750126116497)-6(2{,}187495570809222)}{20}=1{,}0251738274960684
x_{2}^{(7)}=\frac{23+1{,}0251738274960684+9(2{,}187495570809222)}{20}=2{,}1856316982389533
x_{3}^{(7)}=\frac{57+2(1{,}0251738274960684)-7(2{,}1856316982389533)}{20}=2{,}1875462883659734
Resultado:
\mathbf{x}^{(7)}=(1{,}0251738274960684,\;2{,}1856316982389533,\;2{,}1875462883659734).

Passo 12

Iteração k=7\to 8 e verificação do critério:
x_{1}^{(8)}=\frac{38-2(2{,}1856316982389533)-6(2{,}1875462883659734)}{20}=1{,}0251729436663127
x_{2}^{(8)}=\frac{23+1{,}0251729436663127+9(2{,}1875462883659734)}{20}=2{,}1856544769480033
x_{3}^{(8)}=\frac{57+2(1{,}0251729436663127)-7(2{,}1856544769480033)}{20}=2{,}1875382274348018
Diferenças com a iteração anterior (em norma infinita):
\|\mathbf{x}^{(8)}-\mathbf{x}^{(7)}\|_{\infty}=\max\bigl(|1{,}0251729436663127-1{,}0251738274960684|,\;|2{,}1856544769480033-2{,}1856316982389533|,\;|2{,}1875382274348018-2{,}1875462883659734|\bigr)
=\max(8{,}8\cdot10^{-7},\;2{,}27\cdot10^{-5},\;8{,}06\cdot10^{-6})\approx2{,}27\cdot10^{-5}<10^{-4}.
Portanto o critério \|\mathbf{x}^{(k+1)}-\mathbf{x}^{(k)}\|_{\infty}<10^{-4} foi satisfeito na iteração 8. A solução aproximada (até a tolerância escolhida) é:
\mathbf{x}\approx(1{,}0251729436663127,\;2{,}1856544769480033,\;2{,}1875382274348018).
Breve interpretação: as componentes convergiram rapidamente porque a matriz é estritamente diagonalmente dominante; Gauss–Seidel aproveita as atualizações imediatas e converge mais rápido que Jacobi em muitos casos.

Resposta

x_{1}\approx1{,}0251729437
x_{2}\approx2{,}1856544769
x_{3}\approx2{,}1875382274

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