Considere as funções
f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y, g(x, y)=sen(2 x-5 y), h(x, y)=e^x y sen y
Determine:
gx y x(pi3, pi6)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista de terceira ordem
gx y x(x,y)=partialpartial xl(partialpartial yl(partial gpartial xr)r)
para a função
g(x,y)=sinl(2x-5yr)

Passo 2

Calculemos primeiro
gx=partialpartial xsin(2x-5y).
Como ddxsin(u)=cos(u),u' e u=2x-5y tem u'=2, vem
gx=2cos(2x-5y)

Passo 3

Agora obtendo
gx y=partialpartial y(2cos(2x-5y)).
Usamos ddycos(u)=-sin(u),u' com u=2x-5y e u'=-5, daí
gx y=2l(-sin(2x-5y)r)cdot(-5)=10sin(2x-5y)

Passo 4

Finalmente,
gx y x=partialpartial xl(10sin(2x-5y)r).
Novamente ddxsin(u)=cos(u),u' com u=2x-5y e u'=2, então
gx y x=10cos(2x-5y)cdot2=20cos(2x-5y)

Passo 5

Avalie em l(x,yr)=l(tfracpi3,tfracpi6r):
2x-5y=2cdottfracpi3-5cdottfracpi6 =tfrac2pi3-tfrac5pi6 =tfrac4pi-5pi6=-tfracpi6,
e cos(-tfracpi6)=cos(tfracpi6)=tfracraiz32.
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gx y xl(tfracpi3,tfracpi6r) =20cdottfracraiz32=10raiz3

Resposta

gx y xl(tfracpi3,tfracpi6r)=10raiz3

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