Questão 1: Sejam as retas r e s de equações paramétricas dadas por
r:\left\{\begin{array}{l} x=1-t \\\ y=2+t, \\\ z=1-2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+2 t \\\ y=1-2 t, \\\ z=4 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} .\right.\right.
(a) ( \mathbf{7} pontos) Determine a posição relativa entre as retas r e s.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine, se possível, a equação do plano que as contém.
(c) ( \mathbf{8} pontos) Calcule a distância entre r e s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Reta r\) com equações paramétricas \[r:\begin{cases} x=1-t\\[4pt] y=2+t\\[4pt] z=1-2t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
    • Reta (s] com equações paramétricas
      s:\begin{cases} x=2+2t\\[4pt] y=1-2t\\[4pt] z=4t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a posição relativa entre as retas r e s;
    (b) determinar, se possível, a equação do plano que as contém;
    (c) calcular a distância entre r e s.]

Passo 2

Extrair vetores direção e pontos representantes de cada reta (como se costuma fazer nas provas).
  • Para uma reta dada por x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct, o vetor direção é (a,b,c) e um ponto dela é (x_0,y_0,z_0) (o ponto corresponde ao parâmetro t=0).
  • Aplicando isso em r:
    • vetor direção de r: \mathbf{v}_r = (-1,\,1,\,-2) (porque x=1-t\Rightarrow a=-1, etc.);
    • ponto em r (quando t=0): P=(1,2,1).
  • Em s (mudo o parâmetro para u se quiser, mas já extraio direto):
    • vetor direção de s: \mathbf{v}_s = (2,\,-2,\,4);
    • ponto em s (quando t=0): Q=(2,1,0).

Passo 3

Verificar se os vetores direção são múltiplos escalares (para testar paralelismo).
  • Compare \mathbf{v}_s com \mathbf{v}_r: \mathbf{v}_s = (2,-2,4) = -2\cdot(-1,1,-2) = -2\,\mathbf{v}_r.
  • Como um vetor é múltiplo escalar do outro, as retas têm a mesma direção: são paralelas (ou coincidentes).

Passo 4

Decidir se são coincidentes ou apenas paralelas distintas (testar se um ponto de uma está na outra).
  • Testo se P=(1,2,1)\) pertence a \(s\). Procuro \(u\) tal que \[\begin{cases} 2+2u = 1,\\[4pt] 1-2u = 2,\\[4pt] 4u = 1. \end{cases}
  • Da primeira equação obtenho u=-\tfrac{1}{2}\]. Substituindo em \(z=4u z=-2, que é diferente de z_P=1. Portanto não existe u que satisfaça todas as três equações simultaneamente: P não está em s.
  • Conclusão: as retas têm a mesma direção mas não coincidem → são paralelas distintas.]

Passo 5

Encontrar um plano que contenha as duas retas (já que duas retas paralelas distintas são coplanares).
  • Estratégia: escolher a reta r (conhecemos um ponto P e direção \mathbf{v}_r) e usar mais um ponto Q de s. O plano é gerado pelos vetores \mathbf{v}_r e \overrightarrow{PQ}.
  • Calcule o vetor que liga P a Q: \overrightarrow{PQ} = Q-P = (2-1,\,1-2,\,0-1) = (1,\,-1,\,-1).
  • O vetor normal ao plano é o produto vetorial \mathbf{n} = \mathbf{v}_r \times \overrightarrow{PQ}.Faço o produto vetorial passo a passo: \mathbf{v}_r = (-1,1,-2),\qquad \overrightarrow{PQ}=(1,-1,-1).
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -1 & 1 & -2\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-1)-(-2)\cdot(-1),\; -\big((-1)\cdot(-1)-(-2)\cdot1\big),\;(-1)\cdot(-1)-1\cdot1\big).
Calculando cada componente:
n_x = -1 - 2 = -3,\qquad n_y = -(1 -(-2)) = -(1+2) = -3,\qquad n_z = 1 - 1 = 0.
Assim \mathbf{n}=(-3,-3,0). Podemos simplificar \mathbf{n} para (-1,-1,0) ou para (1,1,0) multiplicando por -1/3.]

Passo 6

Escrever a equação do plano usando a forma ponto-normal.
  • Forma ponto-normal: se \mathbf{n}=(A,B,C) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então
    A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
  • Tomando \mathbf{n}=(1,1,0) (simplificação de (-3,-3,0)) e o ponto P=(1,2,1), obtemos
    1\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-1)=0.
    Portanto
    x+y-3=0,
    ou seja o plano é \;x+y=3.
  • Verificação rápida (útil na prova): substituir as equações paramétricas de r e de s em x+y.
    • Para r: x+y=(1-t)+(2+t)=3.
    • Para s: x+y=(2+2u)+(1-2u)=3.
      Ambas satisfazem, logo ambas as retas realmente pertencem ao plano \,x+y=3.

Passo 7

Calcular a distância entre duas retas paralelas.
  • Fórmula (motivação): a distância entre duas retas paralelas é a distância entre qualquer ponto de uma reta e a outra reta medida perpendicularmente. Se \mathbf{v} é o vetor direção comum e \mathbf{w}=\overrightarrow{PQ} liga um ponto P de uma reta a um ponto Q da outra, então a área do paralelogramo formado por \mathbf{v} e \mathbf{w} é \|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|, e essa área também é \|\mathbf{v}\|\cdot d, onde d é a altura (a distância desejada). Assim
    d=\frac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|}{\|\mathbf{v}\|}.
  • Já temos \mathbf{v}=\mathbf{v}_r=(-1,1,-2) e \mathbf{w}=\overrightarrow{PQ}=(1,-1,-1). No Passo 5 calculamos \mathbf{v}\times\mathbf{w} = (-3,-3,0).
  • Calcular normas:
    \|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\| = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
  • Portanto a distância é d=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}.Simplificando: d=3\sqrt{\frac{2}{6}}=3\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.

Resposta

(a) Retas paralelas distintas (paralelas e não coincidentes).
(b) Plano que as contém: \,x+y=3\,.
(c) Distância entre r e s: \sqrt{3}.

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