Questão 1: Sejam as retas r e s de equações paramétricas dadas por
r:\left\{\begin{array}{l} x=1-t \\\ y=2+t, \\\ z=1-2 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=2+2 t \\\ y=1-2 t, \\\ z=4 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} .\right.\right.
(a) ( \mathbf{7} pontos) Determine a posição relativa entre as retas r e s.
(b) ( \mathbf{1 0} pontos) Determine, se possível, a equação do plano que as contém.
(c) ( \mathbf{8} pontos) Calcule a distância entre r e s.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede:
(a) determinar a posição relativa entre as retas r e s;
(b) determinar, se possível, a equação do plano que as contém;
(c) calcular a distância entre r e s.]
Passo 2
Extrair vetores direção e pontos representantes de cada reta (como se costuma fazer nas provas).
Para uma reta dada por x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct, o vetor direção é (a,b,c) e um ponto dela é (x_0,y_0,z_0) (o ponto corresponde ao parâmetro t=0).
Em s (mudo o parâmetro para u se quiser, mas já extraio direto):
vetor direção de s: \mathbf{v}_s = (2,\,-2,\,4);
ponto em s (quando t=0): Q=(2,1,0).
Passo 3
Verificar se os vetores direção são múltiplos escalares (para testar paralelismo).
Compare \mathbf{v}_s com \mathbf{v}_r:\mathbf{v}_s = (2,-2,4) = -2\cdot(-1,1,-2) = -2\,\mathbf{v}_r.
Como um vetor é múltiplo escalar do outro, as retas têm a mesma direção: são paralelas (ou coincidentes).
Passo 4
Decidir se são coincidentes ou apenas paralelas distintas (testar se um ponto de uma está na outra).
Testo se P=(1,2,1)\) pertence a \(s\). Procuro \(u\) tal que
\[\begin{cases} 2+2u = 1,\\[4pt] 1-2u = 2,\\[4pt] 4u = 1. \end{cases}
Da primeira equação obtenho u=-\tfrac{1}{2}\]. Substituindo em \(z=4u dá z=-2, que é diferente de z_P=1. Portanto não existe u que satisfaça todas as três equações simultaneamente: P não está em s.
Conclusão: as retas têm a mesma direção mas não coincidem → são paralelas distintas.]
Passo 5
Encontrar um plano que contenha as duas retas (já que duas retas paralelas distintas são coplanares).
Estratégia: escolher a reta r (conhecemos um ponto P e direção \mathbf{v}_r) e usar mais um ponto Q de s. O plano é gerado pelos vetores \mathbf{v}_r e \overrightarrow{PQ}.
Calcule o vetor que liga P a Q:\overrightarrow{PQ} = Q-P = (2-1,\,1-2,\,0-1) = (1,\,-1,\,-1).
O vetor normal ao plano é o produto vetorial\mathbf{n} = \mathbf{v}_r \times \overrightarrow{PQ}.Faço o produto vetorial passo a passo:\mathbf{v}_r = (-1,1,-2),\qquad \overrightarrow{PQ}=(1,-1,-1).
Assim \mathbf{n}=(-3,-3,0). Podemos simplificar \mathbf{n} para (-1,-1,0) ou para (1,1,0) multiplicando por -1/3.]
Passo 6
Escrever a equação do plano usando a forma ponto-normal.
Forma ponto-normal: se \mathbf{n}=(A,B,C) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Tomando \mathbf{n}=(1,1,0) (simplificação de (-3,-3,0)) e o ponto P=(1,2,1), obtemos
1\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-1)=0.
Portanto
x+y-3=0,
ou seja o plano é \;x+y=3.
Verificação rápida (útil na prova): substituir as equações paramétricas de r e de s em x+y.
Para r: x+y=(1-t)+(2+t)=3.
Para s: x+y=(2+2u)+(1-2u)=3.
Ambas satisfazem, logo ambas as retas realmente pertencem ao plano \,x+y=3.
Passo 7
Calcular a distância entre duas retas paralelas.
Fórmula (motivação): a distância entre duas retas paralelas é a distância entre qualquer ponto de uma reta e a outra reta medida perpendicularmente. Se \mathbf{v} é o vetor direção comum e \mathbf{w}=\overrightarrow{PQ} liga um ponto P de uma reta a um ponto Q da outra, então a área do paralelogramo formado por \mathbf{v} e \mathbf{w} é \|\mathbf{v}\times\mathbf{w}\|, e essa área também é \|\mathbf{v}\|\cdot d, onde d é a altura (a distância desejada). Assim