Questão 2: Seja f(x, y)=rlx^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0).
Mostre que partial fpartial u(0,0) neqlang<=nabla f(0,0), urang<=, onde u=(1raiz2, 1raiz2). Explique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que a derivada direcional de f em (0,0) na direção
u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
não coincide com o produto interno lang<=nabla f(0,0),urang<=.
Vamos, então, calcular
1. a derivada direcional partial f/partial u em (0,0),
2. as derivadas parciais em (0,0) para obter nabla f(0,0),
3. comparar os resultados.]

Passo 2

A derivada direcional de f em (0,0) na direção u é
partial fpartial u(0,0) =limtto0fl(t,ur)-f(0,0)t =limtto0fl(tfractraiz2,tfractraiz2r)t
Para (x,y)=l(tfractraiz2,tfractraiz2r)neq(0,0),
fl(tfractraiz2,tfractraiz2r) =l(tfractraiz2r)^3 l(tfractraiz2r)^2+l(tfractraiz2r)^2 =t^3/(2raiz2)t^2 =t2raiz2
Logo,
partial fpartial u(0,0) =limtto0t/(2raiz2)t =12raiz2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0):
  • Para partial f/partial x:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3/h^2h =limhto0hh =1
  • Para partial f/partial y:
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00h =0

Passo 4

Dessa forma o gradiente em (0,0) é
nabla f(0,0) = (1,0)
O produto interno com u fica
lang<=nabla f(0,0),urang<= =(1,0)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =1raiz2

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
partial fpartial u(0,0)=12raiz2 e lang<=nabla f(0,0),urang<==1raiz2,
vemos que
12raiz2neq1raiz2.
Isso mostra que a derivada direcional não coincide com o produto interno com o gradiente, ou seja, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

partial fpartial u(0,0)=tfrac12raiz2neqtfrac1raiz2=lang<=nabla f(0,0),urang<=.

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