1^ a QUESTÃO - Seja as séries infinitas abaixo:
l s1=1+14+19+116+125+cdots s2=11.2+12.3+13.4+14.5+15.6+cdots
Determine a tonicidade (crescimento) de s1, se é crescente, decrescente, estacionária ou sem classificação;

Passo 1

A questão pede para identificar a tonicidade (monotonicidade) da série infinita s1=1+tfrac14+tfrac19+cdots. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e sequência de somas parciais, e vamos usar o conceito de monotonicidade de sequências para decidir se cresce, decresce ou é estacionária.

Passo 2

Definimos a sequência de somas parciais de s1 como Sn=sumk=1^n1k^2. Observamos que cada termo ak=1k^2 é positivo, ou seja, ak>0 para todo k.

Passo 3

Para verificar monotonicidade, comparamos termos consecutivos de Sn. Temos
Sn+1-Sn=an+1=1(n+1)^2>0
Como a diferença entre um termo e o anterior é sempre estritamente positiva, a sequência Sn é estritamente crescente. Portanto, a série infinita s1 tem soma parcial crescente.

Resposta

A série s1 é crescente (sequência de somas parciais estritamente crescente).

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