Seja uma função tal que para qualquer . Determine .
Seja uma função tal que para qualquer . Calcule .
Seja uma função tal que para qualquer . Calcule e .
Sejam tais que e , para qualquer . Calcule .
Passo 1
Estamos lidando com vários problemas de limites de funções, envolvendo indeterminações do tipo 0/0, divisão de polinômios, e aplicações do teorema do sanduíche (squeeze theorem). Vamos usar fatoração para remover indeterminações, avaliar limites de funções compostas e aplicar que se duas funções tendem ao mesmo valor e uma fica entre elas, então a de interesse também tende a esse valor.
Passo 2
Exercício 8: Para que exista finito, o numerador deve anular em (pois o denominador anula). Calculamos , e impomos obtendo . Com isso o numerador fica , que tem raiz . Fazendo divisão sintética por obtemos o quociente . Logo, para temos
Avaliando em dá , que é o valor de .
Passo 3
Exercício 9: Dado , como ao aproximar-se de o denominador vale não há indeterminação. Substituímos o limite:
Logo , de onde .
Passo 4
Exercício 10: Temos . Como , segue . Para basta usar que e , então .
Passo 5
Exercício 11: Pela desigualdade
para as duas funções extremas tendem a . Pelo teorema do sanduíche, .
Passo 6
Exercício 12: Da desigualdade
ambos os limites das extremas em valem 2. Logo pelo sanduíche .
Passo 7
Exercício 13: Dado , queremos . Note que
e 2x^2to0. Pelo sanduíche o limite é 0.
Passo 8
Exercício 14: Temos
1+x^2+x^63<= f(x)+1<=sec(x^2)+x^63
Quando xto0 o lado esquerdo tende a 1 e sec(x^2)to1, logo lim(f(x)+1)=1 e lim f(x)=0. Depois, f(x)to0 e cosl(1/(x+x^2)r) é limitada em [-1,1], então o produto tende a 0.
Passo 9
Exercício 15: Como |sin x|<= f(x)<=3|x| e 0<= g(x)<=1+|sin x|, ao fazer xto0 temos f(x)to0 e g(x) fica entre 0 e 1. Assim f(x)g(x)to0. E cos xto1, logo a soma tende a 1.
Passo 10
Limite adicional: limxto+infty10x^5+x^4+31x^6. Dividindo numerador e denominador por x^6 obtemos 10/x+1/x^2+31/x^6, que tende a 0.