1. Sejam c, L in R tais que lim x 1 2 x^3+c x+cx^2-1=L. Determine c e L.
  2. Se lim x 4 f(x)-5x-2=1, determine lim x 4 f(x).
  3. Se lim x 2 f(x)x^2=1, determine lim x 2 f(x)x e lim x 2 f(x).
  4. Seja f uma função tal que raiz5-2 x^2 <= f(x) <= raiz5-x^2 para -1 <= x <= 1. Determine lim x 0 f(x).
  5. Seja f: R R uma função tal que 2-x^2 <= f(x) <= 2 cos x para qualquer x. Determine lim x 0 f(x).
  6. Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <= 2|x| para qualquer x. Calcule f: R R.
  7. Seja lim x 0 f(x) uma função tal que f, g: R R para qualquer |sen x| <= f(x) <= 3|x|. Calcule 0 <= g(x) <= 1+|sen x| e x in R.
  8. Sejam lim x 0(f(x) g(x)+cos x) tais que lim x +infty 10 x^5+x^4+31x^6 e , para qualquer . Calcule .

Passo 1

Estamos lidando com vários problemas de limites de funções, envolvendo indeterminações do tipo 0/0, divisão de polinômios, e aplicações do teorema do sanduíche (squeeze theorem). Vamos usar fatoração para remover indeterminações, avaliar limites de funções compostas e aplicar que se duas funções tendem ao mesmo valor e uma fica entre elas, então a de interesse também tende a esse valor.

Passo 2

Exercício 8: Para que limxto12x^3+cx+cx^2-1 exista finito, o numerador deve anular em x=1 (pois o denominador anula). Calculamos 2cdot1^3+ccdot1+c=2+2c, e impomos 2+2c=0 obtendo c=-1. Com isso o numerador fica 2x^3 - x -1, que tem raiz x=1. Fazendo divisão sintética por x-1 obtemos o quociente 2x^2+2x+1. Logo, para xneq1 temos
2x^3- x-1x^2-1= (x-1)(2x^2+2x+1)(x-1)(x+1)= 2x^2+2x+1x+1
Avaliando em xto1 (2+2+1)/(1+1)=5/2, que é o valor de L.

Passo 3

Exercício 9: Dado limxto4f(x)-5x-2=1, como ao aproximar-se de 4 o denominador vale 4-2=2 não há indeterminação. Substituímos o limite:
limxto4f(x)-52=1
Logo limxto4f(x)-5=2, de onde limxto4f(x)=7.

Passo 4

Exercício 10: Temos limxto2f(x)x^2=1. Como x^2to4, segue lim f(x)=4. Para limxto2f(x)x basta usar que lim f(x)=4 e xto2, então 4/2=2.

Passo 5

Exercício 11: Pela desigualdade
raiz5-2x^2<= f(x) <=raiz5-x^2,
para xto0 as duas funções extremas tendem a raiz5. Pelo teorema do sanduíche, limxto0f(x)=raiz5.

Passo 6

Exercício 12: Da desigualdade
2-x^2<= f(x)<=2cos x,
ambos os limites das extremas em xto0 valem 2. Logo pelo sanduíche limxto0f(x)=2.

Passo 7

Exercício 13: Dado |f(x)|<=2|x|, queremos limxto0f(x^3)x. Note que
l|f(x^3)xr|<=2|x^3||x|=2x^2
e 2x^2to0. Pelo sanduíche o limite é 0.

Passo 8

Exercício 14: Temos
1+x^2+x^63<= f(x)+1<=sec(x^2)+x^63
Quando xto0 o lado esquerdo tende a 1 e sec(x^2)to1, logo lim(f(x)+1)=1 e lim f(x)=0. Depois, f(x)to0 e cosl(1/(x+x^2)r) é limitada em [-1,1], então o produto tende a 0.

Passo 9

Exercício 15: Como |sin x|<= f(x)<=3|x| e 0<= g(x)<=1+|sin x|, ao fazer xto0 temos f(x)to0 e g(x) fica entre 0 e 1. Assim f(x)g(x)to0. E cos xto1, logo a soma tende a 1.

Passo 10

Limite adicional: limxto+infty10x^5+x^4+31x^6. Dividindo numerador e denominador por x^6 obtemos 10/x+1/x^2+31/x^6, que tende a 0.

Resposta

  1. c = -1 e L = 5/2
  2. limxto4f(x)=7
  3. limxto2f(x)=4 e limxto2f(x)x=2
  4. limxto0f(x)=raiz5
  5. limxto0f(x)=2
  6. limxto0f(x^3)x=0
  7. limxto0f(x)=0 e limxto0f(x)cosl(1/(x+x^2)r)=0
  8. limxto0[f(x)g(x)+cos x]=1
    Limite extra: limxto+inftytfrac10x^5+x^4+31x^6=0

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