Questão 6 Seja
O gradiente de
é:
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Passo 1
O enunciado dá a função
e os pontos
,
. Pede-se identificar o gradiente
entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
O que é o gradiente? O gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em notação:
Aqui
significa “derivar
tratando
como constante” e
significa “derivar
tratando
como constante”. Esta é a definição que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Tomando
:
- A derivada em relação a
de usa a regra do poder: se então . Aqui e , então a derivada é . - A derivada em relação a
de é , porque é tratado como constante.
Portanto,
Passo 4
Calcular
. Tomando
:
- A derivada em relação a
de é (regra linear). - A derivada em relação a
de é , porque é tratado como constante.
Portanto,
Passo 5
Juntando as duas derivadas parciais obtemos o gradiente:
Passo 6
Só para ver como os pontos
e
seriam usados em seguida (não obrigatório para escolher a alternativa): avaliar o gradiente nesses pontos dá
Passo 7
Comparando a expressão que encontramos com as alternativas dadas, ela corresponde à terceira alternativa.