Questão 6 Seja
f(x, y)=2 x^{2}+3 y, \quad P_{0}=(1,1), \quad P_{1}=(4,5) .
O gradiente de f é:
\nabla f(x, y)=(2 x, 3)
\nabla f(x, y)=(4,3)
\nabla f(x, y)=(4 x, 3)
\nabla f(x, y)=\left(2 x^{2}, 3\right)
\nabla f(x, y)=(4 x, 3 y)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+3y e os pontos P_{0}=(1,1), P_{1}=(4,5). Pede-se identificar o gradiente \nabla f(x,y) entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

O que é o gradiente? O gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa “derivar f tratando y como constante” e \frac{\partial f}{\partial y} significa “derivar f tratando x como constante”. Esta é a definição que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Tomando f(x,y)=2x^{2}+3y:
  • A derivada em relação a x de 2x^{2} usa a regra do poder: se g(x)=ax^{n} então g'(x)=anx^{n-1}. Aqui a=2 e n=2, então a derivada é 2\cdot 2 x^{1}=4x.
  • A derivada em relação a x de 3y é 0, porque y é tratado como constante.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}. Tomando f(x,y)=2x^{2}+3y:
  • A derivada em relação a y de 3y é 3 (regra linear).
  • A derivada em relação a y de 2x^{2} é 0, porque x é tratado como constante.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=3.

Passo 5

Juntando as duas derivadas parciais obtemos o gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(4x,\,3\right).

Passo 6

Só para ver como os pontos P_{0} e P_{1} seriam usados em seguida (não obrigatório para escolher a alternativa): avaliar o gradiente nesses pontos dá
\nabla f(1,1)=(4,3),\qquad \nabla f(4,5)=(16,3).

Passo 7

Comparando a expressão que encontramos com as alternativas dadas, ela corresponde à terceira alternativa.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(4x,3\right)

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