Questão 3 Use o Teorema de Green para calcular
onde
é o retângulo com vértices
e
, com orientação positiva.
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□ 0
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□ 0
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Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
onde
é o retângulo com vértices
e orientação positiva (sentido anti-horário).
Informações dadas e o que é pedido:
- Campo de forma diferencial:
e . - Curva
: contorno do retângulo com orientação positiva. - Pedido: o valor numérico do integral de linha fechado
.
Passo 2
Vou aplicar o Teorema de Green (porque o contorno é o perímetro de uma região simples e
têm derivadas parciais contínuas). O Teorema de Green diz, em palavras simples: o integral de circulação de um campo no contorno orientado positivamente é igual à integral dupla sobre a região do rotacional (diferença das derivadas parciais).
Forma matemática do Teorema de Green:
Explicando os símbolos:
-
e são as componentes do campo. -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é o elemento de área, que num retângulo pode ser escrito como (ou ).
Vou então calcular
e
para usar no teorema.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais passo a passo:
-
. Derivando em relação a (tratando como constante):
-
. Derivando em relação a (tratando como constante):
Agora a diferença que aparece no integrando do Teorema de Green:
Passo 4
Montar a integral dupla sobre a região
. Como
é o retângulo com
e
, temos
Vou integrar primeiro em
(porque
é constante em relação a
):
Calcular
.
Passo 5
Agora integrar em
:
A primitiva de
é
, então
porque
.
Observação: aqui
usa
em radianos; em integral de funções trigonométricas sempre tratar os argumentos em radianos.
Passo 6
Interpretação final: o valor exato do integral é
Fiz também uma verificação rápida calculando cada lado do retângulo diretamente (parametrizando as arestas) e obtive a mesma expressão, então o resultado está consistente.