Questão 3 Use o Teorema de Green para calcular
\oint_{C}(x \cos y) d x+\left(x^{2} \sin y\right) d y,
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(3,0),(3,2) e (0,2), com orientação positiva.
3(1-\cos 2)
9(1-\cos 2)
□ 0
9 \cos 2
6(1-\cos 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
\oint_{C}(x \cos y)\,dx+\left(x^{2}\sin y\right)\,dy,
onde C é o retângulo com vértices (0,0),(3,0),(3,2),(0,2) e orientação positiva (sentido anti-horário).
Informações dadas e o que é pedido:
  • Campo de forma diferencial: P(x,y)=x\cos y e Q(x,y)=x^{2}\sin y.
  • Curva C: contorno do retângulo D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\;0\le y\le 2\} com orientação positiva.
  • Pedido: o valor numérico do integral de linha fechado \displaystyle\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.

Passo 2

Vou aplicar o Teorema de Green (porque o contorno é o perímetro de uma região simples e P,Q têm derivadas parciais contínuas). O Teorema de Green diz, em palavras simples: o integral de circulação de um campo no contorno orientado positivamente é igual à integral dupla sobre a região do rotacional (diferença das derivadas parciais).
Forma matemática do Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando os símbolos:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes do campo.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante).
  • \dfrac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x como constante).
  • dA é o elemento de área, que num retângulo pode ser escrito como dx\,dy (ou dy\,dx).
Vou então calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y} para usar no teorema.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais passo a passo:
  • P(x,y)=x\cos y. Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x\cos y\big)=x\cdot\frac{d}{dy}(\cos y)=x(-\sin y)=-x\sin y.
  • Q(x,y)=x^{2}\sin y. Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\sin y\big)=\sin y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\sin y\cdot 2x=2x\sin y.
Agora a diferença que aparece no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x\sin y-(-x\sin y)=3x\sin y.

Passo 4

Montar a integral dupla sobre a região D. Como D é o retângulo com 0\le x\le3 e 0\le y\le2, temos
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}3x\sin y\,dA =\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{3}3x\sin y\,dx\,dy.
Vou integrar primeiro em x (porque \sin y é constante em relação a x):
Calcular \displaystyle\int_{x=0}^{3}3x\sin y\,dx.
\int_{0}^{3}3x\sin y\,dx=\sin y\int_{0}^{3}3x\,dx =\sin y\cdot 3\cdot\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =\sin y\cdot 3\cdot\frac{9}{2} =\frac{27}{2}\sin y.

Passo 5

Agora integrar em y:
\int_{y=0}^{2}\frac{27}{2}\sin y\,dy=\frac{27}{2}\int_{0}^{2}\sin y\,dy.
A primitiva de \sin y é -\cos y, então
\frac{27}{2}\left[-\cos y\right]_{0}^{2} =\frac{27}{2}\big(-\cos 2 + \cos 0\big) =\frac{27}{2}\big(1-\cos 2\big),
porque \cos 0=1.
Observação: aqui \cos 2 usa 2 em radianos; em integral de funções trigonométricas sempre tratar os argumentos em radianos.

Passo 6

Interpretação final: o valor exato do integral é
\frac{27}{2}\big(1-\cos 2\big).
Fiz também uma verificação rápida calculando cada lado do retângulo diretamente (parametrizando as arestas) e obtive a mesma expressão, então o resultado está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{2}\big(1-\cos 2\big)

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