Questão Seja
uma transformação linear real.
(a)
Mostre que
, e que
.
(b)
Mostre que
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear real
. Perguntas que precisamos responder:
- Mostrar que
e que .\n - Mostrar que
.\n
Informações que já temos do enunciado e coisas que podemos usar sem provar de novo:é linear, isto é, para quaisquer e escalar vale
Passo 2
Definições e o que precisamos provar exatamente (sem resolver ainda):\n
- Definição do núcleo:
.\n - Definição da imagem:
.\n
O que significa(que é subespaço de ): devemos mostrar três propriedades: (i) (não-vazio), (ii) fechado por adição, (iii) fechado por multiplicação escalar. Vamos usar essa receita tanto para quanto para .
Passo 3
Prova de que
é subespaço de
.\n
-
: pela linearidade, , logo .\n - Fechamento por adição: tome
. Então e . Pela linearidade,
portanto
.\n
3. Fechamento por escalar: seja e
. Então
, logo
.\n
Concluímos que .
3. Fechamento por escalar: seja
Concluímos que
Passo 4
Prova de que
é subespaço de
.\n
-
: existe tal que , então .\n - Fechamento por adição: sejam
. Então existem com e . Pela linearidade,
portanto
.\n
3. Fechamento por escalar: seja e
com
. Então
3. Fechamento por escalar: seja
logo
.\n
Portanto .
Portanto
Passo 5
Plano para provar
: vamos construir uma base de
adaptada ao núcleo e relacionar as imagens dos vetores dessa base com uma base de
. Este é o clássico argumento do teorema do posto-nulidade (rank-nullity). Vou fazer passo a passo e explicar cada passo.
Passo 6
Escolha de base do núcleo e extensão para base de
.\n
Seja . Tome uma base do núcleo
Seja
(significa que os
são linearmente independentes e geram
). Agora, como toda base de um subespaço pode ser estendida a uma base do espaço ambiente, existe uma extensão dessa base a uma base de
. Ou seja, existem vetores
tais que
é uma base de
. Por definição de base,
. Até aqui:
e
.
Passo 7
Mostrar que as imagens
geram
.\n
Tome um vetor qualquer . Então existe
com
. Como
é base de
, escrevemos
de forma única como combinação linear
Tome um vetor qualquer
Aplicando
em ambos os lados e usando linearidade:
Mas para cada
temos
porque
. Assim
Logo qualquer
é combinação linear de
. Portanto esses vetores geram
.
Passo 8
Mostrar que
são linearmente independentes.\n
Suponha que exista uma relação linear
Suponha que exista uma relação linear
Pela linearidade isso equivale a
ou seja, o vetor
pertence a
. Como
é uma base de
, a decomposição de
em termos dessa base é única. Mas
foi escrito sem componentes nos
; sendo
, ele também pode ser escrito como combinação dos
apenas:
Pela unicidade da representação em uma base, os coeficientes frente a cada
devem ser zero, logo
. Assim não existe relação linear não-trivial entre os vetores
, ou seja, eles são linearmente independentes.
Passo 9
Conclusão do teorema do posto-nulidade.\n
Juntando os resultados dos passos anteriores: é um conjunto gerador e linearmente independente de
, logo é uma base de
. Portanto
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Lembrando que
e
, obtemos
Passo 10
Exemplo rápido para fixar (prático para a prova): considere
dada por
.\n
- Resolver
dá , então , logo .\n - As colunas da matriz (relativa à base canônica) são
que geram um subespaço de dimensão , logo .\n
Somando:, conforme o que provamos. Isso ajuda a ver na prática como aplicar a estratégia: achar a base do núcleo, estender para base de e ver as imagens dos vetores adicionais.
Resposta
(a)
e
.\n
(b) .
(b)