1^{a} Questão Seja T \in L(V, W) uma transformação linear real.
(a) (1,0) Mostre que \operatorname{Ker}(T) \leqslant V, e que \operatorname{Im}(T) \leqslant W.
(b) (1,0) Mostre que \operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(T))+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{dim}(V).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear real T: V \to W. Perguntas que precisamos responder:
  1. Mostrar que \operatorname{Ker}(T) \leqslant V e que \operatorname{Im}(T) \leqslant W.\n
  2. Mostrar que \dim(\operatorname{Ker}(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(V).\n
    Informações que já temos do enunciado e coisas que podemos usar sem provar de novo: T é linear, isto é, para quaisquer u,v\in V e escalar c\in\mathbb{R} vale
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=c\,T(u).

Passo 2

Definições e o que precisamos provar exatamente (sem resolver ainda):\n
  • Definição do núcleo: \operatorname{Ker}(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.\n
  • Definição da imagem: \operatorname{Im}(T)=\{w\in W \mid \exists v\in V,\; w=T(v)\}.\n
    O que significa S\leqslant X (que S é subespaço de X): devemos mostrar três propriedades: (i) 0\in S (não-vazio), (ii) fechado por adição, (iii) fechado por multiplicação escalar. Vamos usar essa receita tanto para \operatorname{Ker}(T) quanto para \operatorname{Im}(T).

Passo 3

Prova de que \operatorname{Ker}(T) é subespaço de V.\n
  1. 0\in \operatorname{Ker}(T): pela linearidade, T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0, logo 0\in\operatorname{Ker}(T).\n
  2. Fechamento por adição: tome u,v\in\operatorname{Ker}(T). Então T(u)=0 e T(v)=0. Pela linearidade,
T(u+v)=T(u)+T(v)=0+0=0,
portanto u+v\in\operatorname{Ker}(T).\n
3. Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e v\in\operatorname{Ker}(T). Então T(cv)=cT(v)=c\cdot 0=0, logo cv\in\operatorname{Ker}(T).\n
Concluímos que \operatorname{Ker}(T)\leqslant V.

Passo 4

Prova de que \operatorname{Im}(T) é subespaço de W.\n
  1. 0\in\operatorname{Im}(T): existe v=0\in V tal que T(0)=0, então 0\in\operatorname{Im}(T).\n
  2. Fechamento por adição: sejam y_1,y_2\in\operatorname{Im}(T). Então existem v_1,v_2\in V com y_1=T(v_1) e y_2=T(v_2). Pela linearidade,
y_1+y_2 = T(v_1)+T(v_2)=T(v_1+v_2),
portanto y_1+y_2\in\operatorname{Im}(T).\n
3. Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e y\in\operatorname{Im}(T) com y=T(v). Então
c y = cT(v)=T(cv),
logo cy\in\operatorname{Im}(T).\n
Portanto \operatorname{Im}(T)\leqslant W.

Passo 5

Plano para provar \dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V): vamos construir uma base de V adaptada ao núcleo e relacionar as imagens dos vetores dessa base com uma base de \operatorname{Im}(T). Este é o clássico argumento do teorema do posto-nulidade (rank-nullity). Vou fazer passo a passo e explicar cada passo.

Passo 6

Escolha de base do núcleo e extensão para base de V.\n

Seja k=\dim(\operatorname{Ker}(T)). Tome uma base do núcleo
\mathcal{B}_K=\{u_1,\dots,u_k\}\subset V
(significa que os u_i são linearmente independentes e geram \operatorname{Ker}(T)). Agora, como toda base de um subespaço pode ser estendida a uma base do espaço ambiente, existe uma extensão dessa base a uma base de V. Ou seja, existem vetores v_{k+1},\dots,v_{n}\in V tais que
\mathcal{B}_V=\{u_1,\dots,u_k,\, v_{k+1},\dots,v_n\}
é uma base de V. Por definição de base, n=\dim(V). Até aqui: \dim(\operatorname{Ker}(T))=k e \dim(V)=n.

Passo 7

Mostrar que as imagens \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)\} geram \operatorname{Im}(T).\n

Tome um vetor qualquer y\in\operatorname{Im}(T). Então existe v\in V com y=T(v). Como \mathcal{B}_V é base de V, escrevemos v de forma única como combinação linear
v = a_1 u_1 + \dots + a_k u_k + a_{k+1} v_{k+1} + \dots + a_n v_n.
Aplicando T em ambos os lados e usando linearidade:
T(v) = a_1 T(u_1) + \dots + a_k T(u_k) + a_{k+1} T(v_{k+1}) + \dots + a_n T(v_n).
Mas para cada i=1,\dots,k temos T(u_i)=0 porque u_i\in\operatorname{Ker}(T). Assim
y = T(v) = a_{k+1} T(v_{k+1}) + \dots + a_n T(v_n).
Logo qualquer y\in\operatorname{Im}(T) é combinação linear de \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)\}. Portanto esses vetores geram \operatorname{Im}(T).

Passo 8

Mostrar que \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)\} são linearmente independentes.\n

Suponha que exista uma relação linear
b_{k+1}T(v_{k+1}) + \dots + b_n T(v_n)=0.
Pela linearidade isso equivale a
T\big( b_{k+1}v_{k+1} + \dots + b_n v_n\big)=0,
ou seja, o vetor w:=b_{k+1}v_{k+1} + \dots + b_n v_n pertence a \operatorname{Ker}(T). Como \{u_1,\dots,u_k,v_{k+1},\dots,v_n\} é uma base de V, a decomposição de w em termos dessa base é única. Mas w foi escrito sem componentes nos u_i; sendo w\in\operatorname{Ker}(T), ele também pode ser escrito como combinação dos u_i apenas:
w = c_1 u_1 + \dots + c_k u_k.
Pela unicidade da representação em uma base, os coeficientes frente a cada v_{k+1},\dots,v_n devem ser zero, logo b_{k+1}=\cdots=b_n=0. Assim não existe relação linear não-trivial entre os vetores T(v_{k+1}),\dots,T(v_n), ou seja, eles são linearmente independentes.

Passo 9

Conclusão do teorema do posto-nulidade.\n

Juntando os resultados dos passos anteriores: \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)\} é um conjunto gerador e linearmente independente de \operatorname{Im}(T), logo é uma base de \operatorname{Im}(T). Portanto
\dim(\operatorname{Im}(T)) = n-k.
Lembrando que k=\dim(\operatorname{Ker}(T)) e n=\dim(V), obtemos
\dim(\operatorname{Ker}(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = k + (n-k) = n = \dim(V).

Passo 10

Exemplo rápido para fixar (prático para a prova): considere T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por T(x,y,z)=(x+y,\; y+z).\n
  • Resolver T(x,y,z)=(0,0) x=-y,\; z=-y, então \operatorname{Ker}(T)=\{(-y,y,-y):y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\}, logo \dim(\operatorname{Ker}(T))=1.\n
  • As colunas da matriz (relativa à base canônica) são (1,0), (1,1), (0,1) que geram um subespaço de dimensão 2, logo \dim(\operatorname{Im}(T))=2.\n
    Somando: 1+2=3=\dim(\mathbb{R}^3), conforme o que provamos. Isso ajuda a ver na prática como aplicar a estratégia: achar a base do núcleo, estender para base de V e ver as imagens dos vetores adicionais.

Resposta

(a) \operatorname{Ker}(T)\leqslant V e \operatorname{Im}(T)\leqslant W.\n
(b) \dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V).

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