Seja
o operador linear definido por
. Mostre que
e determine
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado\n
- O enunciado nos dá um operador linear
definido por
- As perguntas são duas:
- Dados relevantes que vamos usar: a ação de
sobre os quatro componentes é explícita; observe que as duas primeiras coordenadas se transformam entre si e as duas últimas só sofrem sinais (ou seja, a transformação separa-se naturalmente em dois blocos: sobre e sobre ). A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Escrever
como matriz em blocos e explicar por que podemos trabalhar em blocos\n
- Vamos ver
como uma matriz escrita em blocos . Para isso identificamos o efeito sobre e sobre . A ação sobre é dada pela matriz
porque
A ação sobre
é dada pela matriz
pois
Logo, em base canônica,
tem a forma em bloco
- Observação importante (didática): quando uma matriz é blocada assim (bloco diagonal), potências e inversos (quando existirem) também são blocados:
. Isso simplifica muito, porque basta tratar e separadamente.]
Passo 3
Calcular potências de
- Portanto, para qualquer inteiro
,
Em particular (B^{6}=I_{2}].]
Passo 4
Estudar
: encontrar
e
explicitamente (cálculo direto) e interpretar\n
- Vamos calcular
multiplicando matrizes para não depender só de teoria abstrata. Usando
temos
- Agora calcule
:
- Interpretação didática: o cálculo direto mostrou que
. Outra maneira (teórica) seria observar o polinômio característico de , que é ; as raízes são as raízes primitivas cúbicas (os autovalores satisfazem e ), o que implica que o polinômio mínimo de divide e, portanto, . Mas o cálculo direto acima já é suficiente e mais concreto para a prova.]
Passo 5
Combinar blocos para obter
\n
- Como
, temos
- Usando
e obtemos
- Portanto
- Conclusão parcial (motivadora): mostramos a primeira parte pedida,
. Excelente — isso também nos diz que é invertível.]
Passo 6
Relação entre
e
; deduzir
\n
- Fato útil e simples: se uma transformação linear satisfaz
com , então é invertível e , porque . - Aplicando com
obtemos
- Isso já nos dá uma expressão concreta para
em termos de potências de . Agora vamos calcular de forma explícita como age sobre um vetor.
Passo 7
Calcular
usando os blocos (simplificação com
e
)\n
- Para os blocos temos
- Portanto
- Já calculamos
e nos passos anteriores:
Passo 8
Obter a fórmula explícita de
aplicada a
e verificar\n
- Aplicando
a temos
- Aplicando
a obtemos
- Juntando, a ação de
sobre é
- Verificação rápida (consciência de prova): aplicar
a esse vetor deve retornar . De fato, usando com , dá
confirmando que a fórmula é correta.]