Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} o operador linear definido por T(x, y, z, w)=(-y, x-y, z,-w). Mostre que T^{6}=I e determine T^{-1}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado\n
  • O enunciado nos dá um operador linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} definido por
T(x,y,z,w)=(-y,\;x-y,\;z,\;-w).
  • As perguntas são duas:
\text{(i) Mostrar que }T^{6}=I,
\text{(ii) Determinar }T^{-1}.
  • Dados relevantes que vamos usar: a ação de T sobre os quatro componentes é explícita; observe que as duas primeiras coordenadas se transformam entre si e as duas últimas só sofrem sinais (ou seja, a transformação separa-se naturalmente em dois blocos: sobre (x,y) e sobre (z,w)). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Escrever T como matriz em blocos e explicar por que podemos trabalhar em blocos\n
  • Vamos ver T como uma matriz 4\times4 escrita em blocos 2\times2. Para isso identificamos o efeito sobre (x,y) e sobre (z,w). A ação sobre (x,y) é dada pela matriz
A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
porque
A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot x + (-1)\cdot y\\[2pt] 1\cdot x + (-1)\cdot y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\[2pt] x-y\end{pmatrix}.
A ação sobre (z,w) é dada pela matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
pois
B\begin{pmatrix}z\\[2pt] w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\[2pt] -w\end{pmatrix}.
Logo, em base canônica, T tem a forma em bloco
T=\begin{pmatrix}A & 0\\[4pt] 0 & B\end{pmatrix}.
  • Observação importante (didática): quando uma matriz é blocada assim (bloco diagonal), potências e inversos (quando existirem) também são blocados: T^{k}=\begin{pmatrix}A^{k} & 0\\[4pt]0 & B^{k}\end{pmatrix}. Isso simplifica muito, porque basta tratar A e B separadamente.]

Passo 3

Calcular potências de B\) (o bloco simples) e tirar consequência\n - A matriz \(B\) é \(\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}\). Note que \[B^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=I_{2}.
  • Portanto, para qualquer inteiro k\ge 0,
B^{k}=\begin{cases}I_{2}, & \text{se }k\text{ é par},\\[4pt]B, & \text{se }k\text{ é ímpar.}\end{cases}ééí
Em particular (B^{6}=I_{2}].]

Passo 4

Estudar A: encontrar A^{2} e A^{3} explicitamente (cálculo direto) e interpretar\n
  • Vamos calcular A^{2} multiplicando matrizes para não depender só de teoria abstrata. Usando
A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
temos
A^{2}=A\cdot A=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
  • Agora calcule A^{3}=A^{2}A:
A^{3}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_{2}.
  • Interpretação didática: o cálculo direto mostrou que A^{3}=I_{2}. Outra maneira (teórica) seria observar o polinômio característico de A, que é \lambda^{2}+\lambda+1; as raízes são as raízes primitivas cúbicas (os autovalores satisfazem \lambda^{3}=1 e \lambda\neq1), o que implica que o polinômio mínimo de A divide \lambda^{2}+\lambda+1 e, portanto, A^{3}=I_{2}. Mas o cálculo direto acima já é suficiente e mais concreto para a prova.]

Passo 5

Combinar blocos para obter T^{6}\n
  • Como T^{k}=\begin{pmatrix}A^{k} & 0\\[4pt]0 & B^{k}\end{pmatrix}, temos
T^{6}=\begin{pmatrix}A^{6} & 0\\[4pt]0 & B^{6}\end{pmatrix}.
  • Usando A^{3}=I_{2} e B^{2}=I_{2} obtemos
A^{6}=(A^{3})^{2}=I_{2},\qquad B^{6}=(B^{2})^{3}=I_{2}.
  • Portanto
T^{6}=\begin{pmatrix}I_{2} & 0\\[4pt]0 & I_{2}\end{pmatrix}=I_{4}.
  • Conclusão parcial (motivadora): mostramos a primeira parte pedida, T^{6}=I. Excelente — isso também nos diz que T é invertível.]

Passo 6

Relação entre T^{6}=I e T^{-1}; deduzir T^{-1}=T^{5}\n
  • Fato útil e simples: se uma transformação linear satisfaz T^{k}=I com k\ge1, então T é invertível e T^{-1}=T^{k-1}, porque T\cdot T^{k-1}=T^{k}=I.
  • Aplicando com k=6 obtemos
T^{-1}=T^{5}.
  • Isso já nos dá uma expressão concreta para T^{-1} em termos de potências de T. Agora vamos calcular de forma explícita como T^{5} age sobre um vetor.

Passo 7

Calcular T^{5} usando os blocos (simplificação com A^{3}=I e B^{2}=I)\n
  • Para os blocos temos
A^{5}=A^{3}A^{2}=I_{2}\cdot A^{2}=A^{2},
B^{5}=(B^{2})^{2}B=B.
  • Portanto
T^{5}=\begin{pmatrix}A^{5} & 0\\[4pt] 0 & B^{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^{2} & 0\\[4pt]0 & B\end{pmatrix}.
  • Já calculamos A^{2} e B nos passos anteriores:
A^{2}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Obter a fórmula explícita de T^{-1}=T^{5} aplicada a (x,y,z,w) e verificar\n
  • Aplicando A^{2} a (x,y) temos
A^{2}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x+y\\[4pt]-x\end{pmatrix}.
  • Aplicando B a (z,w) obtemos
B\begin{pmatrix}z\\[2pt]w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\[2pt]-w\end{pmatrix}.
  • Juntando, a ação de T^{-1}=T^{5} sobre (x,y,z,w) é
T^{-1}(x,y,z,w)=(-x+y,\;-x,\;z,\;-w).
  • Verificação rápida (consciência de prova): aplicar T a esse vetor deve retornar (x,y,z,w). De fato, usando T(a,b,c,d)=(-b,a-b,c,-d) com a=-x+y, b=-x
T(-x+y,-x,z,-w)=(x,y,z,w),
confirmando que a fórmula é correta.]

Resposta

T^{6}=I\n
T^{-1}(x,y,z,w)=(-x+y,\;-x,\;z,\;-w)

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