Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e
um operador linear tal que
e
tenham o mesmo posto. (Recorde que o posto de uma transformação linear é a dimensão de sua imagem.) Prove que
. Vale a recíproca?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado um espaço vetorial
de dimensão finita e um operador linear . - Sabe-se que
e têm o mesmo posto, isto é,
- Pergunta 1: Provar que
. - Pergunta 2: Verificar se a recíproca vale (isto é, se
implica ).
Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Primeiro vou explicar duas coisas que usarei: a inclusão entre núcleos e imagens e o Teorema do posto-nulidade (rank–nullity).
-
Definições rápidas e intuitivas:
-
e . - O posto (rank) de
é . A nulidade (nullity) de é .
-
-
Observações elementares sobre
e : - Se
então . Logo . - Se
então existe tal que , portanto . Logo .
- Se
-
Teorema do posto-nulidade (para lembrar): para qualquer transformação linear
em espaço de dimensão finita,
Isto relaciona posto e nulidade.
Agora uso a hipótese
. Como
e as dimensões são iguais, concluímos que
Aplicando posto-nulidade a
e a
, como os postos são iguais, as nulidades também têm que ser iguais:
Mas já vimos que
; igualdade de dimensões força então
Passo 3
Agora proloco a prova de que
usando a igualdade de núcleos que obtivemos.
- Seja
. Como , existe tal que . - Como
, . Então , isto é, . Logo . - Mas
, portanto . Assim . - Logo
. Concluímos que o único vetor em é . Isso prova a primeira parte.
(Pausa didática: a ideia-chave foi mostrar que, pela hipótese de postos iguais, o núcleo de
não cresce ao aplicar
novamente — então qualquer preimagem de um vetor do núcleo já está no núcleo, forçando esse vetor a ser zero.)
Passo 4
Agora provei a direção dada. Falta verificar a recíproca: se
, então
?
Vou mostrar que sim — a recíproca também vale — e faço isso de forma construtiva.
- Considere a restrição de
ao subespaço :
Por definição a imagem dessa restrição é
.
- O núcleo dessa restrição é
Pela hipótese essa interseção é
. Logo a restrição
é injetora.
- Uma aplicação linear injetora entre espaços finito-dimensionais satisfaz
. Aqui a dimensão do domínio é e a dimensão do contradomínio efetivo é . Assim
- Mas já sabemos que
, portanto
- Juntando as duas desigualdades obtemos igualdade das dimensões:
Portanto a recíproca também é verdadeira.
Passo 5
Resumo lógico e interpretação intuitiva (rápido e motivador):
- Condição
implica e a partir daí qualquer vetor que esteja simultaneamente em e em deve ser zero. - Reciprocamente, se a interseção
é trivial, a restrição de a é injetora, forçando as imagens e a terem a mesma dimensão.
Uma conclusão equivalente e útil em provas futuras: para espaço de dimensão finita,
e, nessa situação,
.
Resposta
Sim. A recíproca vale: