Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T: V \rightarrow V um operador linear tal que T e T^{2} tenham o mesmo posto. (Recorde que o posto de uma transformação linear é a dimensão de sua imagem.) Prove que \operatorname{Ker}(T) \cap \operatorname{Im}(T)=\left\{0_{V}\right\}. Vale a recíproca?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado um espaço vetorial V de dimensão finita e um operador linear T:V\to V.
  • Sabe-se que T e T^{2} têm o mesmo posto, isto é,
\dim\big(\operatorname{Im}(T)\big)=\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big).
  • Pergunta 1: Provar que \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\}.
  • Pergunta 2: Verificar se a recíproca vale (isto é, se \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\} implica \dim\operatorname{Im}(T)=\dim\operatorname{Im}(T^{2})).
Todas as informações relevantes estão acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Primeiro vou explicar duas coisas que usarei: a inclusão entre núcleos e imagens e o Teorema do posto-nulidade (rank–nullity).
  • Definições rápidas e intuitivas:
    • \operatorname{Ker}(T)=\{v\in V\mid T(v)=0_{V}\} e \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}.
    • O posto (rank) de T é \dim(\operatorname{Im}(T)). A nulidade (nullity) de T é \dim(\operatorname{Ker}(T)).
  • Observações elementares sobre T e T^2:
    • Se T(v)=0 então T^{2}(v)=T(T(v))=T(0)=0. Logo \operatorname{Ker}(T)\subseteq\operatorname{Ker}(T^{2}).
    • Se w\in\operatorname{Im}(T^{2}) então existe v tal que w=T^{2}(v)=T(T(v)), portanto w\in\operatorname{Im}(T). Logo \operatorname{Im}(T^{2})\subseteq\operatorname{Im}(T).
  • Teorema do posto-nulidade (para lembrar): para qualquer transformação linear S:V\to V em espaço de dimensão finita,
\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(S))+\dim(\operatorname{Ker}(S)).
Isto relaciona posto e nulidade.
Agora uso a hipótese \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\operatorname{Im}(T^{2})). Como \operatorname{Im}(T^{2})\subseteq\operatorname{Im}(T) e as dimensões são iguais, concluímos que
\operatorname{Im}(T^{2})=\operatorname{Im}(T).
Aplicando posto-nulidade a T e a T^{2}, como os postos são iguais, as nulidades também têm que ser iguais:
\dim(\operatorname{Ker}(T))=\dim(\operatorname{Ker}(T^{2})).
Mas já vimos que \operatorname{Ker}(T)\subseteq\operatorname{Ker}(T^{2}); igualdade de dimensões força então
\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{Ker}(T^{2}).

Passo 3

Agora proloco a prova de que \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\} usando a igualdade de núcleos que obtivemos.
  • Seja x\in\operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T). Como x\in\operatorname{Im}(T), existe y\in V tal que x=T(y).
  • Como x\in\operatorname{Ker}(T), T(x)=0. Então T(T(y))=0, isto é, T^{2}(y)=0. Logo y\in\operatorname{Ker}(T^{2}).
  • Mas \operatorname{Ker}(T^{2})=\operatorname{Ker}(T), portanto y\in\operatorname{Ker}(T). Assim T(y)=0.
  • Logo x=T(y)=0. Concluímos que o único vetor em \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T) é 0_{V}. Isso prova a primeira parte.
(Pausa didática: a ideia-chave foi mostrar que, pela hipótese de postos iguais, o núcleo de T não cresce ao aplicar T novamente — então qualquer preimagem de um vetor do núcleo já está no núcleo, forçando esse vetor a ser zero.)

Passo 4

Agora provei a direção dada. Falta verificar a recíproca: se \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0\}, então \dim\operatorname{Im}(T)=\dim\operatorname{Im}(T^{2})?
Vou mostrar que sim — a recíproca também vale — e faço isso de forma construtiva.
  • Considere a restrição de T ao subespaço \operatorname{Im}(T):
T|_{\operatorname{Im}(T)}:\operatorname{Im}(T)\to\operatorname{Im}(T^{2}), \qquad T|_{\operatorname{Im}(T)}(u)=T(u).
Por definição a imagem dessa restrição é \operatorname{Im}(T^{2}).
  • O núcleo dessa restrição é
\operatorname{Ker}\big(T|_{\operatorname{Im}(T)}\big)=\{u\in\operatorname{Im}(T)\mid T(u)=0\}=\operatorname{Im}(T)\cap\operatorname{Ker}(T).
Pela hipótese essa interseção é \{0\}. Logo a restrição T|_{\operatorname{Im}(T)} é injetora.
  • Uma aplicação linear injetora entre espaços finito-dimensionais satisfaz \dim(\text{dom})\le\dim(\text{codom}). Aqui a dimensão do domínio é \dim(\operatorname{Im}(T)) e a dimensão do contradomínio efetivo é \dim(\operatorname{Im}(T^{2})). Assim
\dim\big(\operatorname{Im}(T)\big)\le\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big).
  • Mas já sabemos que \operatorname{Im}(T^{2})\subseteq\operatorname{Im}(T), portanto
\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big)\le\dim\big(\operatorname{Im}(T)\big).
  • Juntando as duas desigualdades obtemos igualdade das dimensões:
\dim\big(\operatorname{Im}(T)\big)=\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big).
Portanto a recíproca também é verdadeira.

Passo 5

Resumo lógico e interpretação intuitiva (rápido e motivador):
  • Condição \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\operatorname{Im}(T^{2})) implica \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{Ker}(T^{2}) e a partir daí qualquer vetor que esteja simultaneamente em \operatorname{Ker}(T) e em \operatorname{Im}(T) deve ser zero.
  • Reciprocamente, se a interseção \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T) é trivial, a restrição de T a \operatorname{Im}(T) é injetora, forçando as imagens \operatorname{Im}(T) e \operatorname{Im}(T^{2}) a terem a mesma dimensão.
Uma conclusão equivalente e útil em provas futuras: para espaço de dimensão finita,
\dim\big(\operatorname{Im}(T)\big)=\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big)\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\},
e, nessa situação, V=\operatorname{Ker}(T)\oplus\operatorname{Im}(T).

Resposta

\operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\}
Sim. A recíproca vale: \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0_{V}\} implica \dim\big(\operatorname{Im}(T)\big)=\dim\big(\operatorname{Im}(T^{2})\big).

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