Questão 4 Seja
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
, então
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que
satisfaz
para todo
. O conteúdo-chave aqui é usar essa relação para encontrar o polinômio mínimo de
e aplicar o critério de diagonalizabilidade: um operador linear em um espaço sobre
é diagonalizável sobre
se, e somente se, seu polinômio mínimo fatorar em fatores lineares distintos em
.
Passo 2
Reescrevendo a relação em termos de operadores, temos
onde
é o operador identidade. Logo, qualquer polinômio que anule
divide
Ou seja, o polinômio mínimo
divide
e, como
já é de grau 2 não nulo, conclui-se que
Passo 3
Vamos analisar as raízes de
O discriminante é
portanto as raízes são
que não são números reais.
Passo 4
O critério de diagonalizabilidade sobre
diz que
é diagonalizável em
se, e somente se, seu polinômio mínimo se fatorar em fatores lineares distintos cujo coeficiente estão em
. Aqui,
não se fatoriza sobre
, pois não tem raízes reais.
Passo 5
Como não existem autovalores reais de
, não há base real de autovetores e, portanto,
não é diagonalizável sobre
. (Observação: sobre
, as raízes são distintas e
seria diagonalizável, mas a questão pede diagonalização em
.)
Resposta
Falsa.