Questão 4 Seja T \in \mathcal{L}\left(M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right). Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.
\operatorname{Se} T^{2}(A)=T(A)-A, então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que T\colon M_{2\times2}(\mathbb R)\to M_{2\times2}(\mathbb R) satisfaz
T^2(A)=T(A)-A
para todo A. O conteúdo-chave aqui é usar essa relação para encontrar o polinômio mínimo de T e aplicar o critério de diagonalizabilidade: um operador linear em um espaço sobre \mathbb R é diagonalizável sobre \mathbb R se, e somente se, seu polinômio mínimo fatorar em fatores lineares distintos em \mathbb R.

Passo 2

Reescrevendo a relação em termos de operadores, temos
T^2 - T + I = 0,
onde I é o operador identidade. Logo, qualquer polinômio que anule T divide
p(\lambda)=\lambda^2 - \lambda + 1.
Ou seja, o polinômio mínimo m_T(\lambda) divide p(\lambda) e, como p já é de grau 2 não nulo, conclui-se que
m_T(\lambda)=\lambda^2 - \lambda + 1.

Passo 3

Vamos analisar as raízes de
p(\lambda)=\lambda^2 - \lambda + 1.
O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot1 = -3 < 0,
portanto as raízes são
\lambda = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2},
que não são números reais.

Passo 4

O critério de diagonalizabilidade sobre \mathbb R diz que T é diagonalizável em M_{2\times2}(\mathbb R) se, e somente se, seu polinômio mínimo se fatorar em fatores lineares distintos cujo coeficiente estão em \mathbb R. Aqui,
m_T(\lambda)=\lambda^2 - \lambda + 1
não se fatoriza sobre \mathbb R, pois não tem raízes reais.

Passo 5

Como não existem autovalores reais de T, não há base real de autovetores e, portanto, T não é diagonalizável sobre \mathbb R. (Observação: sobre \mathbb C, as raízes são distintas e T seria diagonalizável, mas a questão pede diagonalização em M_{2\times2}(\mathbb R).)

Resposta

Falsa.

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