Questão 5 Seja
um operador linear sobre espaço vetorial
real, de dimensão finita, satisfazendo as seguintes condições:
e
.
(a) Determine todos os auto-valores de
.
(b)
é diagonalizável? Justifique em no máximo 2 linhas.
(a) Determine todos os auto-valores de
(b)
Passo 1
O enunciado fala de um operador linear
em espaço real de dimensão finita, que satisfaz
mas não é nem a identidade nem o operador nulo. Precisamos achar (a) seus auto-valores e (b) dizer se é diagonalizável.
Passo 2
Da relação
segue
logo o polinômio mínimo de
divide
. Portanto todos os auto-valores de
estão em
.
Passo 3
Como
e
, ambos os valores
e
ocorrem como auto-valores. Além disso, o polinômio mínimo de
é
, com raízes simples, de onde segue que
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os auto-valores de
são
e
.
(b) Sim. Como o polinômio mínimo é com raízes distintas,
é diagonalizável.
(b) Sim. Como o polinômio mínimo é