Questão 5 Seja T um operador linear sobre espaço vetorial V real, de dimensão finita, satisfazendo as seguintes condições: T^{2}=T, T \neq I d e T \neq 0.
(a) Determine todos os auto-valores de T.
(b) T é diagonalizável? Justifique em no máximo 2 linhas.

Passo 1

O enunciado fala de um operador linear T\colon V\to V em espaço real de dimensão finita, que satisfaz
T^2 = T,
mas não é nem a identidade nem o operador nulo. Precisamos achar (a) seus auto-valores e (b) dizer se é diagonalizável.

Passo 2

Da relação T^2 = T segue
T(T - \mathrm{Id}) = 0,
logo o polinômio mínimo de T divide \lambda(\lambda-1). Portanto todos os auto-valores de T estão em \{0,1\}.

Passo 3

Como T\neq0 e T\neq\mathrm{Id}, ambos os valores 0 e 1 ocorrem como auto-valores. Além disso, o polinômio mínimo de T é \lambda(\lambda-1), com raízes simples, de onde segue que T é diagonalizável.

Resposta

(a) Os auto-valores de T são 0 e 1.
(b) Sim. Como o polinômio mínimo é \lambda(\lambda-1) com raízes distintas, T é diagonalizável.

Exercícios relacionados