Questão 4 Seja T um operador linear sobre espaço vetorial V real, de dimensão finita, tal que T^{3}=0 e T \neq 0.
(a) Determine os autovalores de T.
(b) T é diagonalizável? Justifique sua resposta em no máximo 2 linhas.

Passo 1

O enunciado fala de um operador linear T sobre um espaço real de dimensão finita, satisfazendo T^3=0 mas T\neq 0. Esse tipo de operador é chamado de nilpotente, e sabemos que para nilpotentes sua única raiz do polinômio mínimo (e também do polinômio característico) é zero.

Passo 2

Como o polinômio característico de T tem grau igual à dimensão de V e todas as suas raízes são raízes do polinômio mínimo, que é um divisor de x^3, concluímos que o único autovalor de T é
0.

Passo 3

Um operador é diagonalizável se e somente se possui uma base de autovetores (isto é, se o polinômio mínimo se divide em fatores lineares distintos). Aqui o polinômio mínimo de T é x^k com 2\le k\le3, logo a raiz zero tem multiplicidade maior que 1, impedindo a diagonalização.

Resposta

(a) O único autovalor é 0.
(b) Não, pois o polinômio mínimo é x^k com k>1, ou seja, há raiz múltipla e T não tem base de autovetores.

Exercícios relacionados