Questão 4 Seja
um operador linear sobre espaço vetorial
real, de dimensão finita, tal que
e
.
(a) Determine os autovalores de
.
(b)
é diagonalizável? Justifique sua resposta em no máximo 2 linhas.
(a) Determine os autovalores de
(b)
Passo 1
O enunciado fala de um operador linear
sobre um espaço real de dimensão finita, satisfazendo
mas
. Esse tipo de operador é chamado de nilpotente, e sabemos que para nilpotentes sua única raiz do polinômio mínimo (e também do polinômio característico) é zero.
Passo 2
Como o polinômio característico de
tem grau igual à dimensão de
e todas as suas raízes são raízes do polinômio mínimo, que é um divisor de
, concluímos que o único autovalor de
é
Passo 3
Um operador é diagonalizável se e somente se possui uma base de autovetores (isto é, se o polinômio mínimo se divide em fatores lineares distintos). Aqui o polinômio mínimo de
é
com
, logo a raiz zero tem multiplicidade maior que 1, impedindo a diagonalização.
Resposta
(a) O único autovalor é
.
(b) Não, pois o polinômio mínimo é com
, ou seja, há raiz múltipla e
não tem base de autovetores.
(b) Não, pois o polinômio mínimo é