Questão 3 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) definido por T(p)=p^{\prime}-p^{\prime \prime}.
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de T;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de T.
Passo 1
O enunciado define um operador linear \displaystyle T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R})
por
T(p)=p'-p''.
Queremos achar os autovalores reais de T e suas multiplicidades algébrica e geométrica. Para isso, vamos escolher a base canônica \{1,t,t^2\} de P_2(\mathbb{R}), escrever a matriz de T, obter seu polinômio característico e depois determinar a dimensão do espaço próprio.
Logo o único autovalor é \lambda=0
com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 5
Para achar a multiplicidade geométrica, resolvemos
T(p)=0 \iff (b-2c) + (2c)\,t\equiv 0.
Isso exige 2c=0 e b-2c=0, ou seja c=0 e b=0. Sobram apenas os polinômios constantes p(t)=a. Portanto o espaço próprio \ker(T) é formado pelas constantes e tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.
Resposta
(a) O único autovalor real é \lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.
(b) A multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.