Questão 3 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) definido por T(p)=p^{\prime}-p^{\prime \prime}.
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de T;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de T.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
\displaystyle T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R})
por
T(p)=p'-p''.
Queremos achar os autovalores reais de T e suas multiplicidades algébrica e geométrica. Para isso, vamos escolher a base canônica \{1,t,t^2\} de P_2(\mathbb{R}), escrever a matriz de T, obter seu polinômio característico e depois determinar a dimensão do espaço próprio.

Passo 2

Seja
p(t)=a + b\,t + c\,t^2.
Então
p'(t)=b + 2c\,t, \quad p''(t)=2c,
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T(p)=p'-p''=(b-2c) + (2c)\,t.

Passo 3

Na base \{1,t,t^2\}, temos
T(1)=0,\quad T(t)=1,\quad T(t^2)=-2 + 2t.
Assim a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como A é triangular superior, seu polinômio característico é
\chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & -2\\\\ 0 & -\lambda & 2\\\\ 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} =-\lambda^3.
Logo o único autovalor é
\lambda=0
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 5

Para achar a multiplicidade geométrica, resolvemos
T(p)=0 \iff (b-2c) + (2c)\,t\equiv 0.
Isso exige 2c=0 e b-2c=0, ou seja c=0 e b=0. Sobram apenas os polinômios constantes p(t)=a. Portanto o espaço próprio \ker(T) é formado pelas constantes e tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.

Resposta

(a) O único autovalor real é \lambda=0 com multiplicidade algébrica 3.
(b) A multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.

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