Questão 5 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right). Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Para as verdadeiras, justifique. Para as falsas, dê um contra-exemplo.
(a) Se \operatorname{tr}([T])=5 e \operatorname{det}([T])=6, então T é diagonalizável.
(b) Se \operatorname{tr}([T])=0 e \operatorname{det}([T])=1, então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para cada caso usarmos o polinômio característico de T e verificar se ele se decompõe em raízes reais e distintas, pois em \mathbb{R}^2 um operador é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio característico tem duas raízes reais (e nesse caso distintas implicam autovalores distintos).

Passo 2

(a) Como \operatorname{tr}([T])=5 e \det([T])=6, o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2-\underbrace{5}_{\mathrm{tr}}\lambda+\underbrace{6}_{\det} \;=\;\lambda^2-5\lambda+6 \;=\;(\lambda-2)(\lambda-3).
As raízes são \lambda_1=2 e \lambda_2=3, reais e distintas. Logo há uma base de autovetores e T é diagonalizável.

Passo 3

(b) Como \operatorname{tr}([T])=0 e \det([T])=1, o polinômio característico é
p(\lambda)=\lambda^2-0\cdot\lambda+1 \;=\;\lambda^2+1,
que não tem raízes reais. Assim T não possui autovetores em \mathbb{R}^2 e não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Um contra-exemplo clássico é a rotação de 90^\circ
\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & \;0 \end{pmatrix},
que tem \operatorname{tr}=0, \det=1 e não é diagonalizável em \mathbb{R}^2.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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