Encontre a solução do seguinte pvi que se trata de um sistema linear para duas funções incógnitas x(t) e y(t) :
[Nó instável]
\left\{\begin{aligned} x^{\prime}(t) & =5 x(t)-3 y(t) \\\ y^{\prime}(t) & =-x(t)+7 y(t) \\\ x(0) & =1 \\\ y(0) & =0.5 \end{aligned}\right.
Faça o mesmo roteiro com os mesmos itens que você fez na Questão 1, mas agora para este pvi diretamente acima.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} x'(t)=5x(t)-3y(t),\\\ y'(t)=-x(t)+7y(t),\\\ x(0)=1,\quad y(0)=0,5. \end{cases}
Este é um sistema linear homogêneo com coeficientes constantes. Vamos usar o método de autovalores e autovetores: montamos a matriz do sistema, achamos seus autovalores, depois os autovetores, construímos a solução geral e, por fim, determinamos as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A matriz associada é
A=\begin{pmatrix}5 & -3\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix}.
O polinômio característico vem de \det(A-\lambda I)=0:
\det\begin{pmatrix}5-\lambda & -3\\[4pt]-1 & 7-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(7-\lambda)-(-3)(-1)=0
\Rightarrow \lambda^2-12\lambda+32=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=8,\;\lambda_2=4.]

Passo 3

Para \lambda_1=8, resolvemos (A-8I)v=0:
\begin{pmatrix}-3 & -3\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad v_1+v_2=0
Um autovetor é \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=4, (A-4I)v=0
\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad v_1=3\,v_2
Um autovetor é \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} =C_1e^{8t}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} +C_2e^{4t}\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.
Em t=0 deve valer
\begin{pmatrix}x(0)\\[3pt]y(0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}C_1+3C_2\\[3pt]-C_1+C_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[3pt]0,5\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} C_1+3C_2=1,\\[4pt] -\,C_1+C_2=0,5, \end{cases}
cuja solução é
C_1=-\tfrac{1}{8},\quad C_2=\tfrac{3}{8}.]

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
x(t)=-\frac{1}{8}e^{8t}+\frac{9}{8}e^{4t}, \qquad y(t)=\frac{1}{8}e^{8t}+\frac{3}{8}e^{4t}.

Resposta

x(t)=-\frac{1}{8}e^{8t}+\frac{9}{8}e^{4t}, \quad y(t)=\frac{1}{8}e^{8t}+\frac{3}{8}e^{4t}.

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