Encontre a solução do seguinte pvi que se trata de um sistema linear para duas funções incógnitas x(t) e y(t) :
[Espiral estável]
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=-2 x(t)-1 y(t) \\\ y^{\prime}(t)=x(t)-2 y(t) \\\ x(0)=0 \\\ y(0)=1.5 \end{array}\right.
Faça o mesmo roteiro com os mesmos itens que você fez na Questão 1, mas agora para este pvi diretamente acima.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} x'(t) = -2\,x(t) \;-\; y(t),\\\ y'(t) = x(t)\;-\;2\,y(t),\\\ x(0)=0,\;y(0)=1{,}5, \end{cases}
que é um sistema linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos escrever em forma matricial, encontrar autovalores e autovetores, montar a solução geral real e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos o sistema como \mathbf{X}'(t)=A\,\mathbf{X}(t), onde
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}-2 & -1\\[6pt]1 & -2\end{pmatrix}.
O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I)=(-2-\lambda)^2 -(-1)(1) = (\lambda+2)^2 +1 =0,
cuja solução é
\lambda = -2 \pm i.
Como as partes reais são -2<0, trata-se de uma espiral estável.]

Passo 3

Para \lambda=-2+i, resolvemos (A-\lambda I)\mathbf v=0:
\begin{pmatrix}-2-(-2+i)&-1\\[3pt]1&-2-(-2+i)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-i & -1\\[3pt]1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; v_2 = -\,i\,v_1.
Escolhendo v_1=1, ficamos com \mathbf v=[1,\,-i]^T. Uma solução complexa é
\mathbf z(t)=e^{(-2+i)t}\begin{pmatrix}1\\\ -i\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escrevemos \mathbf z(t)=e^{-2t}e^{it}[1,-i]^T e decompomos em parte real e imaginária:
e^{it}=\cos t + i\sin t, \quad -\,i\,e^{it} = \sin t - i\cos t.
Logo
\mathbf z(t) = e^{-2t} \begin{pmatrix} \cos t + i\sin t\\[3pt] \sin t - i\cos t \end{pmatrix}
produz duas soluções reais independentes:
\mathbf X_1(t)=e^{-2t}\begin{pmatrix}\cos t\\sin t\end{pmatrix}, \quad \mathbf X_2(t)=e^{-2t}\begin{pmatrix}\sin t\\\ -\,\cos t\end{pmatrix}.
A solução geral real é então
\mathbf X(t) = C_1\,\mathbf X_1(t) + C_2\,\mathbf X_2(t).
Em componentes:
x(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr), \quad y(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\sin t - C_2\cos t\bigr).]

Passo 5

Impondo as condições iniciais x(0)=0, y(0)=1{,}5:
x(0)=C_1 = 0, \quad y(0)=C_1\cdot0 - C_2\cdot1 = -C_2 = 1{,}5 \;\Longrightarrow\;C_2 = -1{,}5.

Resposta

\boxed{ x(t) = -1{,}5\,e^{-2t}\,\sin t, \quad y(t) = 1{,}5\,e^{-2t}\,\cos t. }

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