Questão 2 Seja
definido por
.
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de
;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de
.
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pede as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores reais de
. Vamos usar a decomposição de
em matrizes simétricas e antissimétricas para encontrar os autovalores e suas multiplicidades.
Passo 2
Se
é simétrica, isto é
, então
logo
é vetor próprio com autovalor
. O espaço das matrizes simétricas em dimensão 2 tem dimensão
portanto a multiplicidade geométrica de
é 3.
Passo 3
Se
é antissimétrica, isto é
, então
logo
é vetor próprio com autovalor
. O espaço das matrizes antissimétricas em dimensão 2 tem dimensão
portanto a multiplicidade geométrica de
é 1.
Passo 4
Como
o operador
é diagonalizável e as multiplicidades algébrica coincidem com as geométricas. Logo:
- Para
: multiplicidade algébrica , multiplicidade geométrica . - Para
: multiplicidade algébrica , multiplicidade geométrica .
Resposta
(a) Os autovalores reais são
com multiplicidade algébrica
e
com multiplicidade algébrica
.
(b) As multiplicidades geométricas são, respectivamente, para
e
para
.
(b) As multiplicidades geométricas são, respectivamente,