Questão 2 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})\right) definido por T(A)=A-A^{T}.
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de T;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T\colon \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(A)=A - A^T
e pede as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores reais de T. Vamos usar a decomposição de \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) em matrizes simétricas e antissimétricas para encontrar os autovalores e suas multiplicidades.

Passo 2

Se A é simétrica, isto é A^T=A, então
T(A)=A - A^T = A - A = 0,
logo A é vetor próprio com autovalor \lambda=0. O espaço das matrizes simétricas em dimensão 2 tem dimensão
\frac{2(2+1)}{2}=3,
portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 3.

Passo 3

Se A é antissimétrica, isto é A^T=-A, então
T(A)=A - A^T = A - (-A) = 2A,
logo A é vetor próprio com autovalor \lambda=2. O espaço das matrizes antissimétricas em dimensão 2 tem dimensão
\frac{2(2-1)}{2}=1,
portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1.

Passo 4

Como
\mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) =\{\text{simétricas}\}\oplus\{\text{antissimétricas}\},éé
o operador T é diagonalizável e as multiplicidades algébrica coincidem com as geométricas. Logo:
  • Para \lambda=0: multiplicidade algébrica =3, multiplicidade geométrica =3.
  • Para \lambda=2: multiplicidade algébrica =1, multiplicidade geométrica =1.

Resposta

(a) Os autovalores reais são \lambda=0 com multiplicidade algébrica 3 e \lambda=2 com multiplicidade algébrica 1.
(b) As multiplicidades geométricas são, respectivamente, 3 para \lambda=0 e 1 para \lambda=2.

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