Questão 1 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(-x+2 y-z,-x-y+2 z,-x+z).
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de T;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de T.

Passo 1

O enunciado considera o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\,-x-y+2z,\,-x+z).
Queremos encontrar os valores próprios reais de T e, para cada um deles, determinar
– a multiplicidade algébrica (quantas vezes aparece no polinômio característico)
– a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio associado).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Observando as coordenadas de T(x,y,z):
a primeira linha é [-1\;\;2\;\;-1],
a segunda é [-1\;-1\;\;2],
a terceira é [-1\;\;0\;\;1].
Logo,
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\\\ -1 & -1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & -1\\\\ -1 & -1-\lambda & 2\\\\ -1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, obtém-se
\det(A-\lambda I) = -\lambda^2(\lambda+1).

Passo 3

Do polinômio
-\lambda^2(\lambda+1)=0
concluímos que os valores próprios reais são
\lambda=0 com multiplicidade algébrica 2, e
\lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Agora achamos, para cada \lambda, o espaço nulo de A - \lambda I.
Para \lambda=-1 resolvemos (A + I)v=0, ou
\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\\\ -1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
As equações dão z=2y e x=4y, logo
v=y\,(4,1,2),\quad y\in\mathbb{R}.
O espaço próprio é gerado por (4,1,2), portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=-1 é 1.
Para \lambda=0 resolvemos A v=0, ou
\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1\\\\ -1 & -1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Desses sistemas surge z=y e x=y, de modo que
v=y\,(1,1,1),\quad y\in\mathbb{R}.
O espaço próprio é gerado por (1,1,1), portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.

Resposta

Para o operador T:
(a) As multiplicidades algébricas são
\lambda=0 com alg. =2, e \lambda=-1 com alg. =1.
(b) As multiplicidades geométricas são
\lambda=0 com geom. =1, e \lambda=-1 com geom. =1.

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