Questão 1 Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definido por T(x, y, z)=(-x+2 y-z,-x-y+2 z,-x+z).
(a) Determine a multiplicidade algébrica dos auto-valores reais de T;
(b) Determine a multiplicidade geométrica dos auto-valores reais de T.
Passo 1
O enunciado considera o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z)=(-x+2y-z,\,-x-y+2z,\,-x+z).
Queremos encontrar os valores próprios reais de T e, para cada um deles, determinar
– a multiplicidade algébrica (quantas vezes aparece no polinômio característico)
– a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio associado).
Passo 2
Vamos escrever a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Observando as coordenadas de T(x,y,z):
a primeira linha é [-1\;\;2\;\;-1],
a segunda é [-1\;-1\;\;2],
a terceira é [-1\;\;0\;\;1].
Logo,
O espaço próprio é gerado por (1,1,1), portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1.
Resposta
Para o operador T:
(a) As multiplicidades algébricas são \lambda=0 com alg.=2, e \lambda=-1 com alg.=1.
(b) As multiplicidades geométricas são \lambda=0 com geom.=1, e \lambda=-1 com geom.=1.