Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
(1) ( ) Seja T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right). O operador T tem pelo menos um auto-valor real.
(2) ( ) A matriz real A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) não é diagonalizável em \mathbb{R}.
(3) ( ) Se uma matriz A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) satisfaz A=-A^{t}, então A é diagonalizável em \mathbb{C}.
(4) ( ) Seja T \in \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) dada por T(a+b x)=b-a x. Existem uma base para \mathcal{P}_{1}(\mathbb{R}) formada por auto-vetores reais de T.
(5) ( ) Seja T(x, y)=(x+y, x) um operador linear em \mathbb{R}^{2}. Então existe uma base G de \mathbb{R}^{2} tal que a representação [T]_{G} de T na base G é uma matriz diagonal.
(6) ( ) A transformação T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y, z)=(y, x, z) é uma projeção.
(7) ( ) Se T é um operador sobre \mathbb{R}^{3} satisfazendo T(1,1,0)=(3,3,0). Então T é diagonalizável.
(8) ( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_{3}\right) definido por T(p)=p^{\prime} é diagonalizável.
(9) ( ) O operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) com T^{2}=-T é diagonalizável.
(10) ( ) Seja T(A)=A-A^{t} um operador linear em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Então T é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado apresenta dez afirmações sobre autovalores, polinômio característico e diagonalização de operadores lineares e matrizes em espaços reais ou complexos. Nosso objetivo é, para cada afirmação, decidir se é verdadeira ou falsa justificando com conceitos de existência de raízes reais de polinômios, cálculo de polinômios mínimos, multiplicidades algébrica e geométrica de autovalores, e propriedades de projeções e operadores especiais.
Passo 2
(1) Seja T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3). O polinômio característico \chi_T(\lambda) tem grau 3, ímpar, e pelo Teorema Fundamental da Álgebra real ele sempre possui ao menos uma raiz real. Essa raiz é um autovalor real de T.
Portanto a afirmação é verdadeira.
Assim o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 3. Resolvendo (A-I)v=0 obtemos x_1=0 e x_2,x_3 livres, logo a dimensão do espaço próprio é 2. Como a multiplicidade geométrica (2) é menor que a algébrica (3), A não é diagonalizável em \mathbb{R}.
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 4
(3) Se A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) satisfaz A=-A^t então
A=\begin{pmatrix}0 & a\\\ -a & 0\end{pmatrix},
cujo polinômio característico é \lambda^2+a^2. Em \mathbb{C} os autovalores são \pm i\,a, distintos para a\neq0 (se a=0, A=0 já é diagonal). Além disso A é normal, logo diagonalizável por base ortonormal em \mathbb{C}^2.
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(4) Em \mathcal{P}_1(\mathbb{R}), base \{1,x\}, temos
cuja equação característica é \lambda^2+1=0 com raízes \pm i, não reais. Logo não existem autovetores reais não nulos, e não há base real de autovetores.
A afirmação é falsa.
Passo 6
(5) Para T(x,y)=(x+y,x) em \mathbb{R}^2, na base canônica a matriz é
B=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},
com polinômio característico \lambda^2-\lambda-1=0 cujas raízes \frac{1\pm\sqrt5}2 são reais e distintas. Isso garante diagonalização sobre \mathbb{R}.
Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 7
(6) A transformação T(x,y,z)=(y,x,z) satisfaz
T^2(x,y,z)=T(y,x,z)=(x,y,z)=\mathrm{Id}(x,y,z),
mas \mathrm{Id}\neq T, então T^2\neq T. Uma projeção P precisa ter P^2=P. Como não vale, T não é projeção.
A afirmação é falsa.
Passo 8
(7) Dizer apenas que T(1,1,0)=(3,3,0) não fixa completamente T nem garante que o operador seja diagonalizável (faltam valores em outras direções). Não há informação suficiente para concluir diagonalizabilidade.
A afirmação é falsa.
Passo 9
(8) O operador derivação T\colon\mathcal{P}_3\to\mathcal{P}_3, T(p)=p', é nilpotente de ordem 4 (T^4=0) e seu polinômio mínimo é \lambda^4, que não se decompõe em fatores lineares distintos. Nilpotentes não nulos não são diagonalizáveis.
Logo a afirmação é falsa.
Passo 10
(9) Se T^2=-T então
T(T+I)=0,
ou seja, o polinômio mínimo divide \lambda(\lambda+1), cujas raízes 0 e -1 são distintas. Um operador cujo polinômio mínimo tem fatores lineares distintos é sempre diagonalizável.
A afirmação é verdadeira.
Passo 11
(10) Em M_{2\times2}(\mathbb{R}), defina
T(A)=A-A^t.
As matrizes simétricas satisfazem T(S)=0 (autovalor 0) e as antissimétricas satisfazem T(K)=2K (autovalor 2). O espaço se decompõe em soma direta dos autespaços de dimensão 3 e 1, respectivamente. Logo T é diagonalizável.
A afirmação é verdadeira.